2004-上海卷文-07 填-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 当 $x,y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}2⩽x⩽4,\\ y⩾3,\\ x+y⩽8\end{array}$ 时，目标函数 $k=3x-2y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 可行域顶点：$(2,3),(4,3),(4,4),(2,6)$。
2. $k=3x-2y$ 要求 $x$ 大、$y$ 小。
3. 代 $(4,3)$ 得 $k_{\max }=12-6=6$。

✅【答案】

Success

$6$

✍【详细解析】

Abstract

可行域是由直线 $x=2$、$x=4$、$y=3$、$x+y=8$ 围成的四边形，顶点为 $(2,3)$、$(4,3)$、$(4,4)$、$(2,6)$.线性目标函数 $k=3x-2y$ 在顶点处取得最值：$k(2,3)=0$，$k(4,3)=6$，$k(4,4)=4$，$k(2,6)=-6$.故最大值为 $6$，在点 $(4,3)$ 处取得。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划最值
2. 核心方法：可行域顶点 $(2,3),(4,3),(4,4),(2,4)$？$x+y⩽8$ 下顶点为 $(2,3),(4,3)$ 与 $(2,6)$；$k=3x-2y$ 于 $(4,3)$ 取最大 $6$
3. 避坑指南：画可行域四顶点 $(2,3),(4,3),(2,6)$ 及直线 $x+y=8$ 交点；$k$ 最大要求 $x$ 大 $y$ 小，代 $(4,3)$ 得 $6$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二元一次不等式组与目标函数，教材”线性规划”
2. 结论推广: 一般化：线性目标函数在最值可行域顶点处取得；画可行域定顶点，把目标函数沿法向量平移或逐顶点代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.06 简单的线性规划 类题演练 (Links)

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• 2006-上海文-09 填-线性规划最值

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