2006-上海文-09 填-线性规划最值

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 已知实数 $x$、$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y-3⩾0,\\ x+2y-5⩽0,\\ x⩾0,\\ y⩾0,\end{array}$ 则 $y-2x$ 的最大值是 $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出约束条件围成的可行域（凸多边形）。
2. 线性目标函数在可行域顶点处取得最值。
3. 顶点为 $(0,3)$、$(0,\frac{5}{2})$、$(5,0)$、$(1,2)$（交点），逐一代入 $y-2x$。
4. 比较得最大值 $0$（在 $(1,2)$ 处）。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件围成的可行域是以 $(0,3)$、$(0,\frac{5}{2})$、$(1,2)$、$(5,0)$ 为顶点的凸区域。 分别代入目标函数 $y-2x$： $(0,3):3$；$(0,\frac{5}{2}):\frac{5}{2}$；$(1,2):0$；$(5,0):-10$。 故 $y-2x$ 的最大值为 $0$，在点 $(1,2)$ 处取得。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划最值

核心方法：画可行域逐顶点代入

避坑指南：线性目标函数在可行域顶点取最值，逐顶点代入 $y-2x$ 比较；顶点坐标要算准（交点 $(1,2)$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线性规划，常规题

结论推广: 目标函数最值在可行域顶点处取得

方法推广: 画可行域、求顶点、代入目标函数三步走

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2008-广东文-12 填-线性规划最大值