2004-全国卷II理-14 填-简单线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及目标函数的最值求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ x⩾y\\ 2x-y⩽1\end{array}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解析约束条件，将其转化为直线边界：$x=0$, $y=x$, $y=2x-1$。
2. 联立这三条直线的方程，求出由不等式组围成的封闭可行域（三角形）的三个角点坐标。
3. 根据线性规划基本定理，线性目标函数的最值必然在可行域的角点处取得，将三个角点坐标分别代入 $z=3x+2y$ 进行计算比较即可得出最大值。

✅【答案】

Success

$5$

✍【详细解析】

Abstract

已知约束条件为： $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ y⩽x\\ y⩾2x-1\end{array}$ 该不等式组在平面直角坐标系中所表示的可行域为三条直线 $x=0$，$y=x$ 和 $y=2x-1$ 所围成的封闭三角形区域。

分别联立边界直线方程，求出可行域的三个顶点（角点）：

1. 联立 $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=x\end{array}$，解得交点 $A(0,0)$。
2. 联立 $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2x-1\end{array}$，解得交点 $B(0,-1)$。
3. 联立 $\{\begin{array}{l}y=x\\ y=2x-1\end{array}$，解得交点 $C(1,1)$。

将上述三个顶点的坐标分别代入目标函数 $z=3x+2y$ 计算测试值：

• 代入点 $A(0,0)$：$z_A=3(0)+2(0)=0$
• 代入点 $B(0,-1)$：$z_B=3(0)+2(-1)=-2$
• 代入点 $C(1,1)$：$z_C=3(1)+2(1)=5$

比较计算结果可知，$z$ 的最大值为 $5$。

答：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域及线性目标函数的最值求法。
2. 核心方法：角点代入法。
3. 避坑指南：在解交点坐标时必须细心，求出交点后应快速心算代入原不等式组进行合规性核验（例如 $(1,1)$ 代入 $x\ge 0$ 成立，代入 $x\ge y$ 即 $1\ge 1$ 成立，代入 $2x-y\le 1$ 即 $1\le 1$ 成立，说明是有效角点）。避免因为交点算错导致全盘皆输。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典线性规划基础题型。
2. 结论推广: 对于任何有界的多边形可行域，线性目标函数 $z=ax+by$ 的最值一定在边界多边形的顶点处取得。因此，“求出所有有效顶点 → 逐一代入求值 → 比较大小”是解决此类问题最机械、最普适且容错率最高的战术打法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 05.02 函数的四大性质
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-11 填-线性规划最值点
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值
• 2006-四川文-14 填-线性规划求最值