2004-全国卷I文-12 单-三平方和与对称式最值

本题导读

本题考查对称式最值，以及代数变形与分类讨论。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） $a^2+b^2=1$，$b^2+c^2=2$，$c^2+a^2=2$，则 $ab+bc+ca$ 的最小值为()

A. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$　　　　　B. $\frac{1}{2}-\sqrt{3}$　　　　　C. $-\frac{1}{2}-\sqrt{3}$　　　　　D. $\frac{1}{2}+\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三式联立解出 $a^2=b^2=\frac{1}{2}$，$c^2=\frac{3}{2}$。
2. $ab+bc+ca=ab+c(a+b)$，逐一检验符号组合。
3. $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时最小。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

三式相加得 $2(a^2+b^2+c^2)=5$，故 $a^2+b^2+c^2=\frac{5}{2}$.于是 $a^2=\frac{5}{2}-(b^2+c^2)=\frac{1}{2}$，同理 $b^2=\frac{1}{2}$，$c^2=\frac{3}{2}$，即 $a,b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，$c=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}$.当 $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时，$ab+bc+ca=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-\sqrt{3}$；当 $a=-b$ 时原式 $=-\frac{1}{2}>\frac{1}{2}-\sqrt{3}$；其余同号组合均为正或更大。故最小值为 $\frac{1}{2}-\sqrt{3}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三平方和与对称式最值
2. 核心方法：三式联立解出 $a^2=b^2=\frac{1}{2},c^2=\frac{3}{2}$；取 $a=b=\frac{\sqrt{2}}{2},c=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 得最小值 $\frac{1}{2}-\sqrt{3}$
3. 避坑指南：$ab+bc+ca=ab+c(a+b)$：$a=b$ 时 $ab$ 最大但 $c(a+b)$ 可取 $-\sqrt{3}$，净得 $\frac{1}{2}-\sqrt{3}$；$a=-b$ 时只有 $-\frac{1}{2}$——对称式最值要逐一验符号组合

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于对称式的最值，教材”不等式”与”二次函数”的对称式处理
2. 结论推广: 一般化：由平方和关系解出各元平方，再对交叉和取极值；先解出 $a^2,b^2,c^2$，再对 $ab+bc+ca$ 选符号组合取最小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-16 填-对称换元最值
• 2005-全国卷III文-16 填-直角顶点线段距离积最值
• 2005-上海卷文-03 填-线性规划最值