2005-全国卷III文-16 填-直角顶点线段距离积最值

本题导读

本题考查基本不等式与点到直线的距离的最值。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 已知在 $△ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$BC=3$，$AC=4$，$P$ 是 $AB$ 上的点，则点 $P$ 到 $AC$、$BC$ 的距离乘积的最大值是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $C(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,3)$，设 $P(x,y)$。
2. $P$ 在线段 $AB$ 上，满足 $3x+4y=12$（$x\ge 0,y\ge 0$）。
3. 到 $AC$、$BC$ 的距离分别为 $y,x$，乘积 $xy$；由 $(3x)(4y)\le \frac{(3x+4y{)}^2}{4}$ 得 $xy\le 3$。

✅【答案】

Success

$1，3，4$

✍【详细解析】

Abstract

建立平面直角坐标系，取 $C(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,3)$，设 $P(x,y)$，则 $P$ 在线段 $AB$ 上，直线 $AB$ 的方程为 $3x+4y=12$（$x\ge 0,y\ge 0$）． 点 $P$ 到 $AC$、$BC$ 的距离分别为 $y,x$，故距离乘积为 $xy$． 由 $3x+4y=12$ 及基本不等式，$12xy=(3x)(4y)\le {\left(\frac{3x+4y}{2}\right)}^2=36$，故 $xy\le 3$． 当且仅当 $3x=4y$ 时取等号，联立得 $x=2$，$y=\frac{3}{2}$，该点在线段 $AB$ 上，故最大值为 $3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直角顶点线段距离积最值

核心方法：建系 $C(0,0),A(4,0),B(0,3)$，$P(x,y)$ 在 $3x+4y=12$ 上，距离积 $xy$；由 $12xy=(3x)(4y)\le \frac{(3x+4y{)}^2}{4}=36$ 得 $xy\le 3$

避坑指南：点到两直角边距离即 $y$ 与 $x$；用基本不等式 $(3x)(4y)\le \frac{(3x+4y{)}^2}{4}$；最大 $3$，别漏取等条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直角顶点线段距离积最值是基本不等式题

结论推广：点到两直角边距离即坐标 $x,y$，约束 $3x+4y=12$

方法推广：用 $(3x)(4y)\le \frac{(3x+4y{)}^2}{4}$ 求 $xy$ 最大

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线