2004-重庆文-16 填-球体积应用

本题导读

本题考查球的体积与周长的比例关系，属于实际应用问题。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的 $8$ 倍，则火星的大圆周长约 $\underline{}$万里.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设地球、火星半径 $R,r$，$\frac{4}{3}\pi R^3=8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$。
2. $R^3=8r^3$，$R=2r$。
3. 周长比 $\frac{2\pi R}{2\pi r}=2$，火星大圆周长 $8÷2=4$ 万里。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

设地球和火星的半径分别为 $R$ 和 $r$.由球的体积公式及题意，$\frac{4}{3}\pi R^3=8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$，故 $R^3=8r^3$，$R=2r$.地球与火星的大圆周长之比为 $\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}=2$.地球大圆周长约为八万里，所以火星大圆周长约为 $8÷2=4$ 万里。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体积应用
2. 核心方法：$\frac{4}{3}\pi R^3=8\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$ 得 $R=2r$，周长比 $\frac{2\pi R}{2\pi r}=2$，火星大圆周长 $8÷2=4$ 万里
3. 避坑指南：体积比等于半径立方比，周长比等于半径比；$8$ 万里除以 $2$ 得 $4$，勿用体积比直接当周长比

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于球体积，教材”立体几何”
2. 结论推广: 一般化：体积比 = 半径立方比，周长比 = 半径比；由体积比求半径比，再求周长比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2006-山东文-08 单-正方体内外接球
• 2004-福建文-10 单-球与线面角
• 2006-广东卷-12 填-正方体外接球