2006-广东卷-12 填-正方体外接球

本题导读

棱长为 $3$ 的正方体体对角线长为 $3\sqrt{3}$，即外接球直径 $2R=3\sqrt{3}$，$R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，表面积 $4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{27}{4}=27\pi$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 棱长为 $3$ 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正方体外接球的球心是正方体中心，直径等于体对角线。
2. 体对角线 $d=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=3\sqrt{3}$。
3. 球半径 $R=\frac{d}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
4. 表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \cdot \frac{27}{4}=27\pi$。

✅【答案】

Success

$27\pi$

✍【详细解析】

Abstract

球心是正方体的中心，球的直径等于正方体的体对角线 $3\sqrt{3}$，所以半径 $R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$． 球的表面积为 $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2=4\pi \cdot \frac{27}{4}=27\pi .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体外接球

核心方法：正方体棱长 3，体对角线 $3\sqrt{3}$，球半径 $R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，表面积 $4\pi R^2=27\pi$

避坑指南：外接球直径等于正方体体对角线；表面积公式 $S=4\pi R^2$，别漏平方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正方体的外接球，体对角线

结论推广: $2R=3\sqrt{3}\Rightarrow R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$S=27\pi$

方法推广: 外接球半径与体对角线的关系，注意表面积含平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-13 填-长方体外接球
• 2007-湖南文-15 填-正方体外接球与弦长
• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球