2006-山东文-08 单-正方体内外接球

本题导读

本题考查正方体的结构，以及内切球。

📌【题干】

Question

（2006年山东卷(文)） 正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ()

A. $1:\sqrt{3}$　　　　　　B. $1:3$　　　　　　C. $1:3\sqrt{3}$　　　　　　D. $1:9$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设棱长 $s$：内切球半径 $r=\frac{s}{2}$，外接球半径 $R=\frac{\sqrt{3}s}{2}$（体对角线为直径）。
2. $r:R=1:\sqrt{3}$。
3. 体积与半径立方成正比：$r^3:R^3=1:3\sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $s$。内切球半径为 $r=\frac{s}{2}$，外接球半径为 $R=\frac{\sqrt{3}s}{2}$。 球的体积与半径的立方成正比，所以两球体积之比为 $r^3:R^3={\left(\frac{s}{2}\right)}^3:{\left(\frac{\sqrt{3}s}{2}\right)}^3=1:(\sqrt{3}{)}^3=1:3\sqrt{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方体内外接球

核心方法：半径比立方化体积比

避坑指南：内切球 $r=\frac{s}{2}$、外接球 $R=\frac{\sqrt{3}s}{2}$，$r:R=1:\sqrt{3}$；体积比 $=r^3:R^3=1:3\sqrt{3}$；面比才是 $r^2:R^2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源自正方体内切外接球，最经典球模型

结论推广: $r=\frac{s}{2},R=\frac{\sqrt{3}s}{2}$ 推广到长方体

方法推广: 体积比=半径立方比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-浙江文-15 填-外接球体积
• 2008-福建文-15 填-补形求外接球