2003-北京文-11 填-球体积与表面积相等

本题导读

本题考查球的体积与表面积公式，以及方程思想。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 体积 $\frac{4}{3}\pi r^3$，表面积 $4\pi r^2$。
2. 数值相等列方程解 $r$。

✅【答案】

Success

$3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2$，且 $r>0$，两边除以 $4\pi r^2$ 得 $\frac{r}{3}=1$，即 $r=3$.故球体的半径为 $3$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球体积与表面积相等
2. 核心方法：由 $\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2$ 得 $r=3$
3. 避坑指南：体积与表面积数值相等是关于 $r$ 的方程，约去 $4\pi r^2$ 时勿丢 $r=0$ 的舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材球的体积与表面积
2. 结论推广: 一般地，球的体积与表面积数值相等当且仅当 $r=3$；直接列方程求解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-13 填-球体积与表面积
• 2004-重庆文-16 填-球体积应用
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积