2004-福建文-10 单-球与线面角

本题导读

本题考查球的截面性质，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 如图，$A$、$B$、$C$ 是表面积为 $48\pi$ 的球面上三点，$AB=2$，$BC=4$，$\angle ABC=60^{\circ }$，$O$ 为球心，则直线 $OA$ 与截面 $ABC$ 所成的角是()

A. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　B. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　C. $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $4\pi R^2=48\pi$，$R=2\sqrt{3}$；余弦定理得 $A{C}^2=12$，$AC=2\sqrt{3}$。
2. 截面圆半径 $r=\frac{AC}{2\sin 60^{\circ }}=2$；球心到截面距离 $OH=\sqrt{R^2-r^2}=2\sqrt{2}$。
3. $\cos \theta =\frac{HA}{OA}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设球半径为 $R$，由 $4\pi R^2=48\pi$ 得 $R=2\sqrt{3}$.在 $△ABC$ 中，由余弦定理得 $A{C}^2=2^2+4^2-2\cdot 2\cdot 4\cos 60^{\circ }=12$，所以 $AC=2\sqrt{3}$.因为 $\angle ABC=60^{\circ }$，$△ABC$ 的外接圆（即截面圆）半径为 $\frac{AC}{2\sin 60^{\circ }}=2$.设球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的垂足为 $H$，则 $HA=2$，且 $OH=\sqrt{R^2-H{A}^2}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$.若直线 $OA$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{HA}{OA}=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球与线面角
2. 核心方法：$R=2\sqrt{3}$；余弦定理得 $AC=2\sqrt{3}$，截面圆半径 $r=\frac{AC}{2\sin 60^{\circ }}=2$；$OH=\sqrt{R^2-r^2}=2\sqrt{2}$，$\cos \theta =\frac{HA}{OA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：先求大圆半径与截面圆半径，勾股得球心到截面距离；线面角用 $\cos \theta =\frac{\text{射影}}{\text{斜线}}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于球的截面性质与线面角，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：$R^2=d^2+r^2$（球半径、球心到截面距离、截面圆半径）；两大圆一小圆，勾股联系；线面角在直角三角形中求

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-10 单-球心到截面距离
• 2004-全国卷IV文-11 单-球心到截面距离
• 2006-全国卷II文-14 填-球的小圆与球心距