2004-全国卷II文-10 单-球心到截面距离

本题导读

本题考查球的截面，以及球面距离与球心到平面距离的转化。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 已知球 $O$ 的半径为 $1$，$A$、$B$、$C$ 三点都在球面上，且每两点间的球面距离为 $\frac{\pi }{2}$，则球心 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离为()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 球面距离 $\frac{\pi }{2}\times 1$ 对应圆心角 $90^{\circ }$，故 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 两两垂直且模长为 $1$。
2. 令 $\vec{n}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，则 $\vec{n}$ 是平面 $ABC$ 的法向量。
3. 距离 $d=\frac{1}{|\vec{n}|}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

球面距离等于圆心角乘半径，故 $\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=\frac{\pi }{2}$，即 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 两两垂直且模长均为 $1$.令 $\vec{n}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，则 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OA}=\vec{n}\cdot \overrightarrow{OB}=\vec{n}\cdot \overrightarrow{OC}=1$，故 $\vec{n}$ 是平面 $ABC$ 的法向量，且 $|\vec{n}|=\sqrt{3}$.平面 $ABC$ 可写为 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{OX}=1$，故球心到平面的距离为 $\frac{1}{|\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球心到截面距离
2. 核心方法：$\angle AOB=\angle BOC=\angle COA=\frac{\pi }{2}$，$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 两两垂直；$\vec{n}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ 是面 $ABC$ 法向量，$d=\frac{1}{|\vec{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：球面距离 $\frac{\pi }{2}\times$ 半径 1 对应圆心角 $90^{\circ }$；构造 $\vec{n}$ 后 $|\vec{n}|=\sqrt{3}$——距离 =\dfrac{R\cos\alpha} 型，别忘除模长

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于球的截面与球面距离，教材”空间几何体”球的综合
2. 结论推广: 一般化：球面上三点两两球面距离 $\frac{\pi R}{2}$ 时构成球的内接正三角形，球心到面距离 $\frac{\sqrt{3}}{3}R$；球面距离转圆心角，构造法向量后用 $d=\frac{|n\cdot OA|}{|n|}$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I文-02 单-球的截面与表面积
• 2012-四川卷文-10 单-球面距离与截面
• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距