2006-全国卷II文-14 填-球的小圆与球心距

本题导读

本题考查球的截面，以及球心到截面距离。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知圆 $O_1$ 是半径为 $R$ 的球 $O$ 的小圆，若圆 $O_1$ 的面积与球 $O$ 的表面积的比值为 $\frac{2}{9}$，则线段 $O{O}_1$ 与 $R$ 的比值为____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设小圆半径为 $r$，则 $\frac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\frac{2}{9}$。
2. 得 $r^2=\frac{8}{9}{R}^2$。
3. 球心到小圆圆心距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{\frac{1}{9}{R}^2}=\frac{R}{3}$，故 $\frac{O{O}_1}{R}=\frac{1}{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设小圆 $O_1$ 的半径为 $r$，则圆面积 $=\pi r^2$，球 $O$ 表面积 $=4\pi R^2$． 由 $\frac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\frac{2}{9}$，得 $r^2=\frac{8}{9}{R}^2$． 球心 $O$ 到小圆圆心 $O_1$ 的距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{R^2-\frac{8}{9}{R}^2}=\frac{R}{3}$． 故 $\frac{O{O}_1}{R}=\frac{1}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的小圆与球心距

核心方法：设小圆半径 $r$，$\frac{\pi r^2}{4\pi R^2}=\frac{2}{9}\Rightarrow r^2=\frac{8}{9}{R}^2$，$O{O}_1=\sqrt{R^2-r^2}=\frac{R}{3}$

避坑指南：球截面小圆圆心到球心距离 $d=\sqrt{R^2-r^2}$；由面积比先求 $r^2=\frac{8}{9}{R}^2$，$d=\frac{R}{3}$，别把比值的平方根取错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 球截面小圆与球心距的关系，考查空间几何

结论推广: $d^2=R^2-r^2$（$d$ 为球心到小圆圆心距离，$r$ 为小圆半径）

方法推广: 球截面问题化归到直角三角形：$R^2=d^2+r^2$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-08 单-球截面圆面积比
• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距
• 2008-湖北文-04 单-球截面与体积