2002-大纲文-08 单-圆锥与半球体积

本题导读

本题考查圆锥与半球的体积，以及轴截面顶角的余弦。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　B. $\frac{4}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　D. $-\frac{3}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设公共底面半径 $r$、圆锥高 $h$，$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi r^3$ 得 $h=2r$。
2. $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{h}=\frac{1}{2}$，用万能公式求 $\cos \alpha$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设公共底面半径为 $r$、圆锥高为 $h$，由体积相等 $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi r^3$ 得 $h=2r$．轴截面顶角 $\alpha$ 满足 $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{h}=\frac{1}{2}$，故 $\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆锥与半球体积

核心方法：$\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{2}{3}\pi r^3$ 得 $h=2r$，$\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{r}{h}=\frac{1}{2}$，$\cos \alpha =\frac{1-{\tan }^2(\alpha /2)}{1+{\tan }^2(\alpha /2)}=\frac{3}{5}$

避坑指南：体积相等定 $h=2r$，万能公式求顶角余弦

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆锥与球的体积

结论推广：一般地，圆锥轴截面顶角余弦用万能公式

方法推广：体积相等定高，万能公式求角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-北京春文-04 单-圆锥母线与底面夹角
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2004-重庆文-16 填-球体积应用