2004-湖北文-22 解-导数与切线极值

本题导读

本题考查导数、切线与极值。核心在于”图象相切”即方程有重根（判别式为零），三次函数有极值等价于导函数有两个不等实根。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知 $b>-1$，$c>0$，函数 $f(x)=x+b$ 的图象与函数 $g(x)=x^2+bx+c$ 的图象相切.

(1) 求 $b$ 与 $c$ 的关系式（用 $c$ 表示 $b$）；

(2) 设函数 $F(x)=f(x)g(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有极值点，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)$ 与 $g(x)$ 相切 $⟺x+b=x^2+bx+c$ 有重根 $⟺\Delta =0$，得 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$，即 $b=2\sqrt{c}-1$。
2. $F(x)=x^3+2b{x}^2+(b^2+c)x+bc$，$F^{\prime }(x)=3x^2+4bx+b^2+c$。
3. 有极值 $⟺F^{\prime }$ 两不等实根 $⟺\Delta =4(b^2-3c)>0$，代 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$ 得 $c\in (0,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty )$。

✅【答案】

Success

(1) $b=2\sqrt{c}-1$（即 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$）

(2) $c\in (0,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象相切，等价于方程 $x+b=x^2+bx+c$ 有重根，即方程 $x^2+(b-1)x+c-b=0$ 的判别式为零，故 $(b-1{)}^2-4(c-b)=0$，即 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$.由于 $b>-1$，$b+1>0$，也可写成 $b=2\sqrt{c}-1$. （2）展开得 $F(x)=x^3+2b{x}^2+(b^2+c)x+bc$，故 $F^{\prime }(x)=3x^2+4bx+b^2+c$，这是开口向上的二次函数。三次函数 $F(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 内有极值点，必须且只需 $F^{\prime }(x)$ 有两个不相等的实根（此时 $F^{\prime }$ 在两个根处变号，$F$ 分别取得极大值与极小值；若根不为两个不等的实根，则 $F^{\prime }$ 不发生两次变号，$F$ 无极值点）．因此 $\Delta =(4b{)}^2-12(b^2+c)=4(b^2-3c)>0$，代入 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$ 得 $b^2-6b-3>0$，即 $b<3-2\sqrt{3}$ 或 $b>3+2\sqrt{3}$.结合 $b>-1$，得 $-1<b<3-2\sqrt{3}$ 或 $b>3+2\sqrt{3}$.又 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$ 且 $b+1>0$，故 $0<c<{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2=7-4\sqrt{3}$ 或 $c>{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2=7+4\sqrt{3}$，即 $c\in (0,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与切线极值
2. 核心方法：（1）$x+b=x^2+bx+c$ 有重根，$\Delta =(b-1{)}^2-4(c-b)=0$，$c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$，即 $b=2\sqrt{c}-1$；（2）$F(x)=x^3+2b{x}^2+(b^2+c)x+bc$，$F^{\prime }(x)=3x^2+4bx+b^2+c$，有极值须 $F^{\prime }$ 两不等实根，$\Delta =4(b^2-3c)>0$，代 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$ 得 $c\in (0,7-4\sqrt{3})\cup (7+4\sqrt{3},+\infty )$
3. 避坑指南：相切即判别式为零；三次函数有极值 $⟺$ 导函数有两不等实根；用 $c=\frac{(b+1{)}^2}{4}$ 且 $b>-1$ 回代换元定 $c$ 的范围

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数与切线、极值，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：相切 $⟺$ 方程重根（判别式为零）；三次函数有极值 $⟺$ 导函数两不等实根；相切列判别式，极值列导函数判别式，换元定参范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-22 解-导数与恒成立
• 2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立
• 2004-浙江文-21 解-导数单调最值