2002-新课标文-21 解-三次函数切线证明

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线。核心在于求切线交点横坐标并作差证明。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 已知 $a>0$，函数 $f(x)=x^3-a$（$x\in (0,+\infty )$）.设 $x_1>0$，记曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_1,f(x_1))$ 处的切线为 $l$.

(1) 求 $l$ 的方程；

(2) 设 $l$ 与 $x$ 轴交点为 $(x_2,0)$.证明： (i) $x_2\ge a^{\frac{1}{3}}$； (ii) 若 $x_2>a^{\frac{1}{3}}$，则 $a^{\frac{1}{3}}<x_2<x_1$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3x^2$，点斜式写切线，令 $y=0$ 求 $x_2$。
2. (i) 作差配平方；(ii) 需注意结论按原题字面不成立（见解析）。

✅【答案】

Success

(1) $l:y=3x_1^{2}x-2x_1^3-a$

(2) (i) 成立；(ii) 按原题字面不成立，需补条件 $x_1>a^{\frac{1}{3}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2$，切线斜率为 $3x_1^2$，由点斜式得 $y-(x_1^3-a)=3x_1^2(x-x_1)$，即 $l:y=3x_1^{2}x-2x_1^3-a$． (2) 令 $y=0$ 得 $x_2=\frac{2x_1^3+a}{3x_1^2}$． (i) 令 $t=a^{\frac{1}{3}}>0$，则 $x_2-t=\frac{2x_1^3+t^3-3t{x}_1^2}{3x_1^2}=\frac{(x_1-t{)}^2(2x_1+t)}{3x_1^2}\ge 0$，故 $x_2\ge a^{\frac{1}{3}}$． (ii) 由 $x_1-x_2=\frac{x_1^3-a}{3x_1^2}=\frac{(x_1-t)(x_1^2+t{x}_1+t^2)}{3x_1^2}$ 知：当 $x_1>t$ 时 $t<x_2<x_1$；但当 $0<x_1<t$ 时反而 $x_2>x_1$（如取 $a=1$、$x_1=\frac{1}{2}$ 得 $x_2=\frac{5}{3}>1=a^{\frac{1}{3}}$，但 $x_2>x_1$）．故 (ii) 按原题字面不成立，正确结论需补充条件 $x_1>a^{\frac{1}{3}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数切线证明

核心方法：切线 $y=3x_1^{2}x-2x_1^3-a$，令 $y=0$ 得 $x_2=\frac{2x_1^3+a}{3x_1^2}$；(i) $x_2-t=\frac{(x_1-t{)}^2(2x_1+t)}{3x_1^2}\ge 0$；注(ii)按原题字面不成立

避坑指南：切线点斜式求交点横坐标，作差配平方判号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材导数的几何意义

结论推广：一般地，切线交点横坐标作差配平方判号

方法推广：切线方程求交点，作差证不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-03 单-三次函数切线方程
• 2004-湖北文-22 解-导数与切线极值
• 2003-河南卷-09 单-切线倾斜角定对称轴距离