2003-河南卷-09 单-切线倾斜角定对称轴距离

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线倾斜角与对称轴距离的关系。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 设 $a>0$，$f(x)=a{x}^2+bx+c$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,f(x_0))$ 处的切线的倾斜角的取值范围为 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，则 $P$ 到曲线 $y=f(x)$ 对称轴距离的取值范围为()

A. $\left[0,\frac{1}{a}\right]$　　B. $\left[0,\frac{1}{2a}\right]$　　C. $\left[0,\left|\frac{b}{2a}\right|\right]$　　D. $\left[0,\left|\frac{b-1}{2a}\right|\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 切线斜率 $f^{\prime }(x_0)=2a{x}_0+b$，倾斜角 $\in [0,\frac{\pi }{4}]$ 即斜率 $\in [0,1]$。
2. 对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$，距离 $x_0+\frac{b}{2a}$ 的范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

切线斜率为 $f^{\prime }(x_0)=2a{x}_0+b$，由倾斜角 $\in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 得 $0\le 2a{x}_0+b\le 1$，即 $-\frac{b}{2a}\le x_0\le \frac{1-b}{2a}$.对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，故 $P$ 到对称轴的距离为 $x_0+\frac{b}{2a}$，其取值范围为 $\left[0,\frac{1}{2a}\right]$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线倾斜角定对称轴距离
2. 核心方法：切线斜率 $2a{x}_0+b\in [0,1]$，$P$ 到对称轴距离 $x_0+\frac{b}{2a}\in \left[0,\frac{1}{2a}\right]$
3. 避坑指南：倾斜角范围化斜率范围，距离即横坐标偏移

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材导数的几何意义
2. 结论推广: 一般地，切线倾斜角范围对应斜率范围；倾斜角化斜率，再转横坐标偏移范围

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-04 单-切线倾斜角
• 2008-辽宁文-06 单-切线倾斜角定范围
• 2010-辽宁文-12 单-切线倾斜角范围