2004-福建文-22 解-导数与恒成立

本题导读

本题考查导数与不等式恒成立。核心在于用导数非负分离参数求集合 $A$，再用判别式与一次函数性质处理对 $a$、$t$ 的双层恒成立。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 已知 $f(x)=4x+a{x}^2-\frac{2}{3}{x}^3$（$x\in \mathbf{R}$）在区间 $[-1,1]$ 上是增函数.

(1) 求实数 $a$ 的值组成的集合 $A$；

(2) 设关于 $x$ 的方程 $f(x)=2x+\frac{1}{3}{x}^3$ 的两个非零实根为 $x_1$、$x_2$.试问：是否存在实数 $m$，使得不等式 $m^2+tm+1⩾|x_1-x_2|$ 对任意 $a\in A$ 及 $t\in [-1,1]$ 恒成立？若存在，求 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=4+2ax-2x^2⩾0$ 在 $[-1,1]$ 恒成立：$x>0$ 时 $a⩾x-\frac{2}{x}$（最大 $-1$）；$x<0$ 时 $a⩽x-\frac{2}{x}$（最小 $1$）。$A=[-1,1]$。
2. 非零根满足 $x^2-ax-2=0$，$|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+8}⩽3$。
3. 需 $m^2+1-|m|⩾3$，即 $(|m|-2)(|m|+1)⩾0$，$m\in (-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$，存在。

✅【答案】

Success

(1) $A=[-1,1]$

(2) 存在，$m$ 的取值范围是 $(-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=4+2ax-2x^2$.要使 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上为增函数，需且只需 $f^{\prime }(x)⩾0$ 对一切 $x\in [-1,1]$ 成立。对 $x\in (0,1]$，不等式等价于 $a⩾x-\frac{2}{x}$，而 $x-\frac{2}{x}$ 在 $(0,1]$ 上递增，最大值为 $-1$，故 $a⩾-1$.对 $x\in [-1,0)$，除以负数 $2x$ 后不等号反向，等价于 $a⩽x-\frac{2}{x}$，而该式在 $[-1,0)$ 上的最小值为 $1$（在 $x=-1$ 处取得），故 $a⩽1$.因此 $A=[-1,1]$. （2）原方程化为 $4x+a{x}^2-\frac{2}{3}{x}^3=2x+\frac{1}{3}{x}^3$，即 $x\left(2+ax-x^2\right)=0$.两个非零根满足 $x^2-ax-2=0$，故 $|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+8}$；由 $a\in [-1,1]$ 得 $|x_1-x_2|⩽3$.对固定的 $m$，当 $t\in [-1,1]$ 变化时，$m^2+tm+1$ 的最小值为 $m^2+1-|m|$.所以题中不等式对所有 $a\in A$，$t\in [-1,1]$ 恒成立，当且仅当 $m^2+1-|m|⩾3$.令 $u=|m|⩾0$，则 $u^2-u-2⩾0$，即 $(u-2)(u+1)⩾0$，故 $u⩾2$.因此存在这样的实数 $m$，且 $m\in (-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与恒成立
2. 核心方法：（1）$f^{\prime }(x)=4+2ax-2x^2⩾0$ 在 $[-1,1]$ 恒成立，分离参数得 $-1⩽a⩽1$，$A=[-1,1]$；（2）$|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+8}⩽3$，需 $m^2+1-|m|⩾3$，即 $(|m|-2)(|m|+1)⩾0$，$m\in (-\infty ,-2]\cup [2,+\infty )$
3. 避坑指南：“在区间上恒为增”即导数在该区间恒非负，分离参数按 $x>0$、$x<0$ 两段定界；二次方程根差用判别式；$m^2+tm+1$ 对 $t$ 的最小值在 $t=-|m|$ 处

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数与不等式恒成立，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：$f$ 在区间递增 $⟺f^{\prime }⩾0$ 恒成立；恒成立分离参数求最值；导数定参、判别式求根差、双层恒成立逐层化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-21 解-导数含参恒成立
• 2009-江西卷文-17 解-导数恒成立与根
• 2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立