2006-四川文-21 解-导数含参恒成立

本题导读

本题考查导数与含参恒成立问题。核心在于导数求最值、含参恒成立。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^3+3ax-1$，$g(x)=f^{\prime }(x)-ax-5$，其中 $f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．

(1) 对满足 $-1⩽a⩽1$ 的一切 $a$ 的值，都有 $g(x)<0$，求实数 $x$ 的取值范围；

(2) 设 $a=-m^2$，当实数 $m$ 在什么范围内变化时，函数 $y=f(x)$ 的图像与直线 $y=3$ 只有一个公共点.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f^{\prime }(x)=3x^2+3a$，$g(x)=3x^2-ax+3a-5=3x^2-5+a(3-x)$。
2. $a\in [-1,1]$ 时，关于 $a$ 的一次式 $a(3-x)$ 的最大值为 $|3-x|$，故题设等价于 $3x^2-5+|3-x|<0$。
3. 分段：$x⩽3$ 时 $3x^2-x-2<0$ 得 $-\frac{2}{3}<x<1$；$x>3$ 时 $3x^2+x-8<0$ 无解。
4. (2) 公共点横坐标是 $h(x)=x^3-3m^{2}x-4=0$ 的实根。$h^{\prime }(x)=3x^2-3m^2=3(x-m)(x+m)$。
5. $m=0$ 时 $h^{\prime }(x)⩾0$，只有一个实根；$m\ne 0$ 时 $h$ 在 $x=-|m|$、$x=|m|$ 取极值，由极值符号定零点个数。

✅【答案】

Success

(1) $x\in \left(-\frac{2}{3},1\right)$

(2) $m\in \left(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f^{\prime }(x)=3x^2+3a$，得 $g(x)=f^{\prime }(x)-ax-5=3x^2+3a-ax-5=3x^2-5+a(3-x).$ 当 $a\in [-1,1]$ 时，关于 $a$ 的一次函数 $a(3-x)$ 在端点取得最大值 $|3-x|$，故”对一切 $a\in [-1,1]$ 都有 $g(x)<0$“等价于 $3x^2-5+|3-x|<0.$ 若 $x⩽3$，则 $|3-x|=3-x$，上式化为 $3x^2-5+3-x<0$，即 $3x^2-x-2<0$，解得 $-\frac{2}{3}<x<1$； 若 $x>3$，则 $|3-x|=x-3$，上式化为 $3x^2+x-8<0$，但 $x>3$ 时 $3x^2+x-8>0$ 恒成立，无解． 综上，$x$ 的取值范围是 $\left(-\frac{2}{3},1\right)$．

（2）当 $a=-m^2$ 时，$f(x)=x^3-3m^{2}x-1$，函数 $y=f(x)$ 的图像与直线 $y=3$ 的公共点横坐标是方程 $h(x)=x^3-3m^{2}x-4=0$ 的实根． $h^{\prime }(x)=3x^2-3m^2=3(x-m)(x+m)$． ① 当 $m=0$ 时，$h^{\prime }(x)=3x^2⩾0$，$h(x)$ 单调递增，方程 $h(x)=0$ 只有一个实根． ② 当 $m\ne 0$ 时，记 $r=|m|>0$，$h^{\prime }(x)=3(x-r)(x+r)$，故 $h$ 在 $(-\infty ,-r)$ 与 $(r,+\infty )$ 递增，在 $(-r,r)$ 递减，且 $h(-r)=2r^3-4,h(r)=-2r^3-4<0.$ 若 $2r^3-4<0$（即 $r^3<2$），两个极值点的函数值都小于 $0$，方程只有一个实根； 若 $2r^3-4=0$（即 $r^3=2$），$x=-r$ 是重根且另有实根，方程有两个不同实根； 若 $2r^3-4>0$（即 $r^3>2$），方程有三个实根． 故图像与直线 $y=3$ 只有一个公共点的充要条件是 $r^3<2$，即 $|m{|}^3<2$，解得 $m\in \left(-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}\right).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数含参恒成立

核心方法：(1) $g(x)=3x^2-5+a(3-x)$，$a\in [-1,1]$ 时 $a(3-x)$ 最大值 $|3-x|$，化为 $3x^2-5+|3-x|<0$ 解得 $(-\frac{2}{3},1)$；(2) $a=-m^2$ 时 $h(x)=x^3-3m^{2}x-4$，只有一个公共点 $\iff m\in (-\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$

避坑指南：含参一次式最值取端点 $|3-x|$；分段讨论 $x⩽3$ 与 $x>3$；极值点 $\pm r$ 处函数值符号定零点个数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 含参函数的恒成立与零点问题

结论推广: $\forall a\in [-1,1],g(x)<0\iff$ 端点最值

方法推广: 分离参数或讨论极值点符号定零点个数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-21 解-三次函数极值与最值恒成立
• 2008-安徽文-20 解-导数极值恒成立
• 2009-大纲Ⅱ文-21 解-导数单调与恒成立
• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参