2004-浙江文-21 解-导数单调最值

本题导读

本题考查导数的求法、函数的最值与单调性。核心在于求导后由 $f^{\prime }(-1)=0$ 定参数，比较端点与驻点求最值，再分离参数讨论单调区间。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 已知 $a$ 为实数，$f(x)=(x^2-4)(x-a)$.

(1) 求导数 $f^{\prime }(x)$；

(2) 若 $f^{\prime }(-1)=0$，求 $f(x)$ 在 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值；

(3) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-2]$ 和 $[2,+\infty )$ 上都是递增的，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开得 $f(x)=x^3-a{x}^2-4x+4a$，$f^{\prime }(x)=3x^2-2ax-4$。
2. $f^{\prime }(-1)=3+2a-4=0$，$a=\frac{1}{2}$；$f^{\prime }(x)=(3x-4)(x+1)$，比较 $-2,-1,\frac{4}{3},2$。
3. 最大 $\frac{9}{2}$、最小 $-\frac{50}{27}$；第（3）问分离参数得 $-2⩽a⩽2$。

✅【答案】

Success

(1) $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax-4$

(2) 最大值 $\frac{9}{2}$、最小值 $-\frac{50}{27}$

(3) $-2⩽a⩽2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）展开得 $f(x)=x^3-a{x}^2-4x+4a$，所以 $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax-4$. （2）由 $f^{\prime }(-1)=0$，得 $3+2a-4=0$，所以 $a=\frac{1}{2}$.此时 $f(x)=x^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+2$，且 $f^{\prime }(x)=3x^2-x-4=(3x-4)(x+1)$.区间 $[-2,2]$ 内的可能极值点为 $-2$、$-1$、$\frac{4}{3}$、$2$，逐一计算得 $f(-2)=0$，$f(-1)=\frac{9}{2}$，$f\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{50}{27}$，$f(2)=0$，因此最大值为 $\frac{9}{2}$，最小值为 $-\frac{50}{27}$. （3）要使函数在给定两个区间上递增，需使 $f^{\prime }(x)=3x^2-2ax-4⩾0$ 对 $x⩽-2$ 及 $x⩾2$ 均成立。令 $h(x)=\frac{3x^2-4}{2x}=\frac{3}{2}x-\frac{2}{x}$，则 $h^{\prime }(x)=\frac{3}{2}+\frac{2}{x^2}>0$，$h$ 在 $(-\infty ,0)$ 与 $(0,+\infty )$ 上都递增。当 $x⩾2$ 时，$f^{\prime }(x)⩾0$ 等价于 $a⩽h(x)$，由于 $h$ 在 $[2,+\infty )$ 上递增，故只需 $a⩽h(2)=2$.当 $x⩽-2$ 时，除以负数 $2x$ 后不等号反向，$f^{\prime }(x)⩾0$ 等价于 $a⩾h(x)$，由于 $h$ 在 $(-\infty ,-2]$ 上递增，故只需 $a⩾h(-2)=-2$.综合得 $-2⩽a⩽2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数单调最值
2. 核心方法：（1）$f(x)=x^3-a{x}^2-4x+4a$，$f^{\prime }(x)=3x^2-2ax-4$；（2）$f^{\prime }(-1)=3+2a-4=0$ 得 $a=\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(x)=(3x-4)(x+1)$，极值点 $-1,\frac{4}{3}$，$f(-2)=f(2)=0$，$f(-1)=\frac{9}{2}$，$f(\frac{4}{3})=-\frac{50}{27}$，最大 $\frac{9}{2}$ 最小 $-\frac{50}{27}$；（3）$f^{\prime }⩾0$ 对 $x⩽-2$ 及 $x⩾2$ 恒成立，得 $-2⩽a⩽2$
3. 避坑指南：求导后 $f^{\prime }(-1)=0$ 定 $a$；闭区间最值比较端点与驻点；第（3）问把 $a$ 分离后分 $x⩾2$、$x⩽-2$ 两段讨论符号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数与函数的最值，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：闭区间最值比较端点与驻点；单调区间由 $f^{\prime }⩾0$ 定参数范围；求导、令导数为零、比较端点与驻点，分离参数讨论单调

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-16 解-导数图象与极值定参
• 2006-四川文-21 解-导数含参恒成立
• 2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立