2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立

本题导读

本题考查导数研究单调性、极值与恒成立。核心在于求导定极值点，极值大于零定参数范围，恒成立转区间包含。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=4x^3-3x^2\cos \theta +\frac{1}{32}$，其中 $x\in \mathbf{R}$，$\theta$ 为参数，且 $0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$。 （1）当 $\cos \theta =0$ 时，判断函数 $f(x)$ 是否有极值； （2）要使函数 $f(x)$ 的极小值大于零，求参数 $\theta$ 的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 $\theta$，函数 $f(x)$ 在区间 $(2a-1,a)$ 内都是增函数，求实数 $a$ 的取值范围。

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=12x^2-6x\cos \theta =6x(2x-\cos \theta )$。
2. (1) $\cos \theta =0$ 时 $f^{\prime }(x)=12x^2⩾0$，单调递增无极值。
3. (2) $\cos \theta >0$ 时极小值在 $x=\frac{\cos \theta }{2}$ 取，令其 $>0$ 得 $0<\cos \theta <\frac{1}{2}$，即 $\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}$。
4. (3) 增区间不含减区间 $(0,\frac{\cos \theta }{2})$，得 $a\in (-\infty ,0]\cup \left[\frac{5}{8},1\right)$。

✅【答案】

Success

(1)无极值

(2)$\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}$

(3)$a\in (-\infty ,0]\cup \left[\frac{5}{8},1\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=12x^2-6x\cos \theta =6x(2x-\cos \theta )$。

（1）当 $\cos \theta =0$ 时，$f^{\prime }(x)=12x^2⩾0$（且不恒为 0），故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，无极值。

（2）记 $c=\cos \theta \in [0,1]$。当 $c>0$ 时，$f^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,0)$、$\left(\frac{c}{2},+\infty \right)$ 上正，在 $\left(0,\frac{c}{2}\right)$ 上负，故 $x=\frac{c}{2}$ 为极小值点，极小值 $f\left(\frac{c}{2}\right)=4{\left(\frac{c}{2}\right)}^3-3{\left(\frac{c}{2}\right)}^{2}c+\frac{1}{32}=\frac{1}{32}-\frac{c^3}{4}$。 令 $\frac{1}{32}-\frac{c^3}{4}>0$ 得 $c^3<\frac{1}{8}$，即 $c<\frac{1}{2}$。结合 $0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2}$，$\cos \theta <\frac{1}{2}$ 得 $\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{\pi }{2}$。

（3）由（2），$\cos \theta \in \left(0,\frac{1}{2}\right)$。减区间为 $\left(0,\frac{\cos \theta }{2}\right)$，其并集 ${\bigcup }_{0<c<1/2}\left(0,\frac{c}{2}\right)=\left(0,\frac{1}{4}\right)$。 要 $(2a-1,a)$ 内恒为增函数，该区间必须不与减区间相交，即 $(2a-1,a)\subseteq (-\infty ,0]$ 或 $(2a-1,a)\subseteq \left[\frac{1}{4},+\infty \right)$。 前者给 $a⩽0$；后者给 $2a-1⩾\frac{1}{4}$ 即 $a⩾\frac{5}{8}$，且区间非空要求 $2a-1<a$ 即 $a<1$，故 $a\in \left[\frac{5}{8},1\right)$。 综上 $a\in (-\infty ,0]\cup \left[\frac{5}{8},1\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数单调极值恒成立

核心方法：求导定极值点，极值大于零定参数，恒成立转区间包含

避坑指南：(2) 极小值 $\frac{1}{32}-\frac{c^3}{4}>0$ 得 $c<\frac{1}{2}$；(3) 减区间并集 $\left(0,\frac{1}{4}\right)$，区间 $(2a-1,a)$ 要完全落在增区，$a<1$ 的非空约束别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三次函数极值与区间恒成立是导数压轴的经典组合。

结论推广: $$\begin{gathered} f^{ \\ prime}(x)=6x(2x- \\ cos \\ theta) \end{gathered}$$，极小值点 $$\begin{gathered} x= \\ dfrac \\ cos \\ theta2 \end{gathered}$$；恒成立转区间包含关系。

方法推广: (3) 把”对任意参数都增”转化为区间不与所有减区间之并相交，分两段求 $a$ 再取并。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2008-安徽文-20 解-导数极值恒成立
• 2009-北京文-18 解-导数切线与极值
• 2013-新课标Ⅰ文-20 解-导数单调性与极值