2005-重庆卷文-19 解-三次函数极值与单调性求参

本题导读

本题考查利用导数研究三次函数的极值与单调性求参数。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 设函数 $f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax+8$，其中 $a\in \mathbb{R}$．

(1)若 $f(x)$ 在 $x=3$ 处取得极值，求常数 $a$ 的值；

(2)若 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上为增函数，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$。
2. (1) 极值点 $x=3$：$f^{\prime }(3)=0\Rightarrow a=3$。
3. (2) $x<0$ 时 $x-1<0$，增函数要求 $f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立，即 $x-a<0$ 对 $x<0$ 恒成立 $\Rightarrow a⩾0$。

✅【答案】

Success

a=3.（2）短答案：a∈[0,+∞).

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=6x^2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)$． （1）若 $f(x)$ 在 $x=3$ 处取得极值，则 $f^{\prime }(3)=6\times 2\times (3-a)=0$，解得 $a=3$．此时 $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-3)$，在 $x=3$ 两侧异号，$x=3$ 确为极值点，故 $a=3$． （2）$f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上为增函数，须 $f^{\prime }(x)⩾0$ 在 $(-\infty ,0)$ 恒成立．当 $x<0$ 时，$x-1<0$，故 $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-a)⩾0⟺x-a⩽0⟺x⩽a$，对一切 $x<0$ 成立须 $a⩾0$．当 $a=0$ 时，$x<0$ 上 $x-a=x<0<0$ 严格负，$f^{\prime }(x)>0$ 恒成立，符合．故 $a$ 的取值范围为 $[0,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数极值与单调性求参

核心方法：$f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-a)$；(1) $x=3$ 极值 $\Rightarrow a=3$；(2) $x<0$ 时 $x-1<0$，需 $x-a<0$ 恒成立 $\Rightarrow a⩾0$

避坑指南：“在 $x=3$ 取得极值”即 $f^{\prime }(3)=0$；单调递增要求导数在开区间恒非负——$a⩾0$ 含 $a=0$（此时 $x<0$ 上 $x-a<0$ 严格成立）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版选修 1-1 导数应用

结论推广：$f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-a)$；$a=3$；$a⩾0$

方法推广：极值点即 $f^{\prime }=0$ 的根；区间单调性化为导数恒非负，含参二次不等式按参数分类

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-19 解-极值点与含参单调区间
• 2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立
• 2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值