2004-全国卷I文-19 解-三次函数恒减求参

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于将减函数条件转化为导数恒非正后按开口与判别式求参。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 已知 $f(x)=a{x}^3+3x^2-x+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+6x-1$，减函数 $⟺f^{\prime }(x)⩽0$ 恒成立。
2. $a=0$ 时导数是一次函数，不满足，舍。
3. $a<0$ 且 $\Delta =36+12a⩽0$，得 $a⩽-3$。

✅【答案】

Success

$a⩽-3$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+6x-1$.$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上为减函数，须 $f^{\prime }(x)⩽0$ 对一切实数恒成立。若 $a=0$，$f^{\prime }(x)=6x-1$ 在 $x>\frac{1}{6}$ 时为正，不满足，舍。故 $a<0$，抛物线开口向下，此时须 $f^{\prime }(x)$ 与 $x$ 轴至多一个交点，即判别式 $\Delta =36+12a⩽0$，解得 $a⩽-3$.此时 $f^{\prime }(x)⩽0$ 恒成立（仅 $a=-3$ 时一点处为零，不影响单调性），故 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-3]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数恒减求参
2. 核心方法：$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+6x-1\le 0$ 恒成立：$a<0$ 且 $\Delta =36+12a\le 0\Rightarrow a\le -3$
3. 避坑指南：减函数要求导数恒 $\le 0$；$a=0$ 时导数是一次函数不满足——开口向下且判别式 $\le 0$（与 $x$ 轴至多一个交点）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数研究函数单调性，教材”导数在研究函数中的应用”
2. 结论推广: 一般化：三次函数在 $\mathbb{R}$ 上单调 $⟺$ 导数恒不变号，结合开口与判别式求参；减函数 $\Rightarrow f^{\prime }\le 0$ 恒成立，注意 $a=0$ 的退化情形

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2006-天津文-20 解-导数单调极值恒成立
• 2010-新课标Ⅰ文-21 解-导数单调与恒成立
• 2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性