2004-重庆文-20 解-导数求最大利润

本题导读

本题考查导数在实际利润最值问题中的应用。核心在于列利润函数，求导判单调性求最大利润。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 $x$（吨）与每吨产品的价格 $p$（元/吨）之间的关系式为 $p=24200-\frac{1}{5}{x}^2$，且生产 $x$ 吨的成本为 $R=50000+200x$（元）．问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润 $=$ 收入 $-$ 成本）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 月收入 $=xp=24200x-\frac{1}{5}{x}^3$。
2. 利润 $\Pi (x)=24200x-\frac{1}{5}{x}^3-(50000+200x)=-\frac{1}{5}{x}^3+24000x-50000$。
3. ${\Pi }^{\prime }(x)=24000-\frac{3}{5}{x}^2$，$x=200$ 时最大，$\Pi (200)=3150000$ 元。

✅【答案】

Success

每月生产 $200$ 吨时利润最大，最大利润 $3150000$ 元

✍【详细解析】

Abstract

设月利润为 $\Pi (x)$，则月收入为 $xp=24200x-\frac{1}{5}{x}^3$，故 $\Pi (x)=24200x-\frac{1}{5}{x}^3-(50000+200x)=-\frac{1}{5}{x}^3+24000x-50000$，其中 $x⩾0$.求导得 ${\Pi }^{\prime }(x)=24000-\frac{3}{5}{x}^2$.当 $0⩽x<200$ 时 ${\Pi }^{\prime }(x)>0$；当 $x>200$ 时 ${\Pi }^{\prime }(x)<0$，故 $x=200$ 时利润最大。此时 $\Pi (200)=-\frac{1}{5}\times 200^3+24000\times 200-50000=3150000$.因此每月生产 $200$ 吨时利润最大，最大利润为 $3150000$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求最大利润
2. 核心方法：利润 $\Pi (x)=24200x-\frac{1}{5}{x}^3-(50000+200x)=-\frac{1}{5}{x}^3+24000x-50000$；${\Pi }^{\prime }(x)=24000-\frac{3}{5}{x}^2=0$ 得 $x=200$，最大利润 $\Pi (200)=3150000$ 元
3. 避坑指南：收入 $=xp$，成本 $=R$；${\Pi }^{\prime }>0$（$x<200$）递增、${\Pi }^{\prime }<0$（$x>200$）递减；$x=200$ 是极大也是最大，注意单位（元）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数求最值的应用，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：利润 = 收入 - 成本，求导定驻点判断最值；列利润函数，求导判单调，求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-16 填-导数求容积最值
• 2004-湖北文-22 解-导数与切线极值
• 2005-全国卷III文-21 解-导数求容积最值