2005-全国卷III文-21 解-导数求容积最值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的最值与函数模型的应用。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 用长为 $90$ cm、宽为 $48$ cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 $90^{\circ }$ 角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设截去小正方形边长为 $h$ cm，则容器高 $h$ cm，$0<h<24$。
2. 底面长宽分别为 $90-2h$、$48-2h$，容积 $V=h(90-2h)(48-2h)$。
3. 展开求导，在 $0<h<24$ 内找极值点。

✅【答案】

Success

容器的高为 $10\mathrm{cm}$ 时容积最大，最大容积为 $19600\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$。

✍【详细解析】

Abstract

设截去的小正方形边长为 $h$ cm，则容器的高为 $h$ cm，且 $0<h<24$． 容器底面的长、宽分别为 $(90-2h)$ cm、$(48-2h)$ cm，容积函数 $V(h)=h(90-2h)(48-2h)=4h^3-276h^2+4320h$． 求导得 $V^{\prime }(h)=12h^2-552h+4320=12(h-10)(h-36)$． 在 $0<h<24$ 时，$V^{\prime }(h)>0$ 当 $0<h<10$，$V^{\prime }(h)<0$ 当 $10<h<24$，故 $h=10$ 时容积最大，此时 $V(10)=10\times 70\times 28=19600\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数求容积最值

核心方法：设截去边长 $h$，容积 $V=h(90-2h)(48-2h)=4h^3-276h^2+4320h$；$V^{\prime }=12(h-10)(h-36)$，$h=10$ 时最大 $V(10)=19600$

避坑指南：定义域 $0<h<24$；$V^{\prime }$ 在 $h=10$ 变号由正转负取极大；最大容积 $19600\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$，别把高写成 $36$（超定义域）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数求容积最值是应用最值题

结论推广：容积 $V=h(长-2h)(宽-2h)$，求导求极值

方法推广：注意定义域 $0<h<\frac{宽}{2}$，取极大值点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.02 阿波罗尼斯圆

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调性含参
• 2009-大纲Ⅰ文-21 解-导数单调与切线