2004-福建文-16 填-导数求容积最值

本题导读

本题考查导数在实际最值问题中的应用。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 如图，将边长为 $1$ 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为 $\underline{}$时，其容积最大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底面边长 $x$，高为内外两平行边距离 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$。
2. $V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)=\frac{9}{4}{x}^2(1-x)$。
3. $V^{\prime }(x)=\frac{9}{4}x(2-3x)$，在 $(0,1)$ 内驻点 $x=\frac{2}{3}$，容积最大。

✅【答案】

Success

$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设折成的正六棱柱底面边长为 $x$，则 $0<x<1$.原正六边形边长为 $1$，内六边形与外六边形对应边平行，所以棱柱的高为两条对应平行边之间的距离 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$.底面是边长为 $x$ 的正六边形，面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}^2$，故容积 $V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)=\frac{9}{4}{x}^2(1-x)$.求导得 $V^{\prime }(x)=\frac{9}{4}x(2-3x)$，令 $V^{\prime }(x)=0$ 得 $x=\frac{2}{3}$（$x=0$ 舍去）．当 $0<x<\frac{2}{3}$ 时 $V$ 递增，当 $\frac{2}{3}<x<1$ 时 $V$ 递减，所以 $x=\frac{2}{3}$ 时容积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数求容积最值
2. 核心方法：底面边长 $x$，高 $h=\frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)$，$V=\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(1-x)=\frac{9}{4}{x}^2(1-x)$，$V^{\prime }(x)=\frac{9}{4}x(2-3x)$，$x=\frac{2}{3}$ 时最大
3. 避坑指南：高是内外两平行边距离，用夹角 $60^{\circ }$ 算；三次函数求导定驻点，$0<x<1$ 内只有 $x=\frac{2}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数在实际最值中的应用，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：$V(x)$ 为三次多项式时驻点至多两个，结合定义域取舍；列函数（注意高由几何关系求），求导令零，比较端点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III文-21 解-导数求容积最值
• 2014-江西卷文-18 解-导数最值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值