2004-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与向量定比

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦与向量定比分点。核心在于用向量参数化焦点弦求夹角并求截距范围。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 给定抛物线 $C:y^2=4x$，$F$ 是 $C$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点.

(1) 设 $l$ 的斜率为 $1$，求 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 夹角的大小；

(2) 设 $\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$，若 $\lambda \in [4,9]$，求 $l$ 在 $y$ 轴上截距的变化范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）$l:y=x-1$ 代入 $y^2=4x$ 解交点，算 $\cos \theta$。
2. （2）设 $\overrightarrow{AF}=(p,q)$，则 $A=(1-p,-q)$、$B=(1+\lambda p,\lambda q)$。
3. 分别代入抛物线解出 $p,q$，得截距关于 $\lambda$ 的表达式，求值域。

✅【答案】

Success

(1) $\arccos \left(-\frac{3}{\sqrt{41}}\right)$

(2) $\left[-\frac{4}{3},-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）焦点 $F=(1,0)$，$l$ 斜率为 $1$ 时方程为 $y=x-1$，代入 $y^2=4x$ 得 $(x-1{)}^2=4x$，即 $x^2-6x+1=0$，两交点为 $A=(3-2\sqrt{2},2-2\sqrt{2})$，$B=(3+2\sqrt{2},2+2\sqrt{2})$.于是 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})+(2-2\sqrt{2})(2+2\sqrt{2})=1-4=-3$，又 $|\overrightarrow{OA}{|}^2=29-20\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{OB}{|}^2=29+20\sqrt{2}$，故 $|\overrightarrow{OA}{|}^2|\overrightarrow{OB}{|}^2=41$.设夹角为 $\theta$，$\cos \theta =-\frac{3}{\sqrt{41}}$，$\theta =\arccos \left(-\frac{3}{\sqrt{41}}\right)$. （2）设 $\overrightarrow{AF}=(p,q)$，由 $\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$ 且 $F=(1,0)$，得 $A=(1-p,-q)$，$B=(1+\lambda p,\lambda q)$.分别代入 $y^2=4x$：$q^2=4(1-p)$，${\lambda }^2{q}^2=4(1+\lambda p)$，消去 $q^2$ 得 ${\lambda }^2(1-p)=1+\lambda p$，故 $p=\frac{\lambda -1}{\lambda }$，$q^2=\frac{4}{\lambda }$.因 $\lambda \in [4,9]$，$p>0$，直线斜率为 $k=\frac{q}{p}=\pm \frac{2\sqrt{\lambda }}{\lambda -1}$，过 $F=(1,0)$ 的直线 $y=k(x-1)$ 在 $y$ 轴截距为 $b=-k=\pm \frac{2\sqrt{\lambda }}{\lambda -1}$.令 $t=\sqrt{\lambda }$，$t\in [2,3]$，$g(t)=\frac{2t}{t^2-1}$ 单调递减，故 $\frac{3}{4}=g(3)⩽g(t)⩽g(2)=\frac{4}{3}$，截距范围 $\left[-\frac{4}{3},-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点弦与向量定比
2. 核心方法：（1）$l:y=x-1$ 代入 $y^2=4x$ 得 $A(3-2\sqrt{2},2-2\sqrt{2})$，$B(3+2\sqrt{2},2+2\sqrt{2})$，$\cos \theta =\frac{-3}{\sqrt{41}}$，$\theta =\arccos \left(-\frac{3}{\sqrt{41}}\right)$；（2）$\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$ 定出 $p=\frac{\lambda -1}{\lambda }$，$q^2=\frac{4}{\lambda }$，截距 $b=\pm \frac{2\sqrt{\lambda }}{\lambda -1}$，$\lambda \in [4,9]$ 时值域 $\left[-\frac{4}{3},-\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{3}{4},\frac{4}{3}\right]$
3. 避坑指南：焦点弦用 $\overrightarrow{AF}=(p,q)$ 参数化最快——$A(1-p,-q)$、$B(1+\lambda p,\lambda q)$ 分别代入抛物线；截距关于 $\sqrt{\lambda }$ 单调递减，端点值互换方向别弄反

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线焦点弦与向量参数化，教材”圆锥曲线”综合
2. 结论推广: 一般化：$\overrightarrow{FB}=\lambda \overrightarrow{AF}$ 配合抛物线可解出弦端点参数与斜率；焦点弦用 $(p,q)$ 参数化避免联立二次；值域问题转化为新元的单调区间

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2005-天津卷文-22 解-抛物线与向量综合
• 2006-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与面积