2001-新课标理-10 单-抛物线焦点弦数量积

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦，以及向量数量积的求解。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 设坐标原点为 $O$，抛物线 $y^2=2x$ 与过焦点的直线交于 $A$，$B$ 两点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=$()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. $-\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^2=2px$ 中 $p=1$，焦点弦满足 $y_1{y}_2=-p^2$。
2. $x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{4p^2}$，代数量积。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2x$ 中 $p=1$，过焦点的弦两端点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 满足 $y_1{y}_2=-p^2=-1$，且 $x_1=\frac{y_1^2}{2}$，$x_2=\frac{y_2^2}{2}$，故 $x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{4}=\frac{1}{4}$．于是 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦数量积

核心方法：焦点弦 $y_1{y}_2=-p^2=-1$，$x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}=\frac{1}{4}$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$

避坑指南：焦点弦两根积为定值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线的焦点弦

结论推广：一般地，$y^2=2px$ 焦点弦满足 $y_1{y}_2=-p^2$，$x_1{x}_2=\frac{p^2}{4}$

方法推广：焦点弦定值代数量积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-10 单-抛物线焦点弦数量积
• 2004-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与向量定比
• 2006-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与面积