2001-新课标卷文-10 单-抛物线焦点弦数量积

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦，以及向量的数量积运算。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(文)） 设坐标原点为 $O$，抛物线 $y^2=2x$ 与过焦点的直线交于 $A$，$B$ 两点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=$()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. $-\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 焦点为 $F(\frac{1}{2},0)$，设弦所在直线与抛物线联立。
2. 用韦达定理求 $x_1{x}_2$、$y_1{y}_2$，再求数量积。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=2x$ 的焦点为 $F(\frac{1}{2},0)$．设过 $F$ 的直线与抛物线交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，由焦点弦性质 $y_1{y}_2=-p^2=-1$，且 $x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{4}=\frac{1}{4}$．故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦数量积

核心方法：焦点 $F(\frac{1}{2},0)$，设弦 $y=k(x-\frac{1}{2})$ 与 $y^2=2x$ 联立，$y_1{y}_2=-1$，$x_1{x}_2=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{4}=\frac{1}{4}$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=-\frac{3}{4}$

避坑指南：焦点弦用韦达定理，$x_1{x}_2$ 由 $y_1{y}_2$ 导出

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抛物线与向量数量积

结论推广：一般地，焦点弦两端点坐标用韦达定理求数量积

方法推广：韦达定理 + 坐标数量积

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与向量定比
• 2007-大纲Ⅰ文-12 单-抛物线焦点弦与三角形面积
• 2006-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与面积