2006-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与面积

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦。核心在于参数法设点、向量定值与面积最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 已知抛物线 $x^2=4y$ 的焦点为 $F$，$A,B$ 是抛物线上的两动点，且 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$（$\lambda >0$）．过 $A,B$ 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 $M$． （1）证明 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}$ 为定值； （2）设 $△ABM$ 的面积为 $S$，写出 $S=f(\lambda )$ 的表达式，并求 $S$ 的最小值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(2t_1,t_1^2)$，$B(2t_2,t_2^2)$，焦点 $F(0,1)$。
2. 由 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$ 得 $t_1=-\lambda t_2$，$t_2^2=\frac{1}{\lambda }$。
3. 求 $A,B$ 处切线方程及交点 $M$。
4. 用向量坐标计算 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$。
5. 面积 $S=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$，用均值不等式求最小。

✅【答案】

Success

(1)$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$

(2)$S=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$，最小值为 $4$（$\lambda =1$ 时）

✍【详细解析】

Abstract

（1）抛物线 $x^2=4y$ 的焦点 $F(0,1)$，设 $A(2t_1,t_1^2)$，$B(2t_2,t_2^2)$． 由 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$ 得 $(-2t_1,1-t_1^2)=\lambda (2t_2,t_2^2-1)$， 故 $-2t_1=2\lambda t_2$ 且 $1-t_1^2=\lambda (t_2^2-1)$，即 $t_1=-\lambda t_2$，代入得 $t_2^2=\frac{1}{\lambda }$，$t_1^2=\lambda$． 抛物线在参数 $t$ 处的切线方程为 $tx=y+t^2$，故 $A,B$ 处的切线分别为 $t_{1}x=y+t_1^2$，$t_{2}x=y+t_2^2$，联立解得交点 $M=\left(-\frac{\lambda -1}{\sqrt{\lambda }},-1\right)$． 于是 $\overrightarrow{FM}=\left(-\frac{\lambda -1}{\sqrt{\lambda }},-2\right)$，$\overrightarrow{AB}=\left(2\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right),\frac{1}{\lambda }-\lambda \right)$． 计算 $\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$，为定值． （2）由（1）知 $△ABM$ 中 $FM\perp AB$， $|AB|={\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^2$，$|FM|=\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}$， 故 $S=\frac{1}{2}|AB|\cdot |FM|=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$． 由 $\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\ge 2$（当且仅当 $\lambda =1$ 时取等），得 $S\ge \frac{1}{2}\times 2^3=4$． 故 $S$ 的最小值为 $4$，在 $\lambda =1$ 时取得． 【注】答案册第（2）问将面积写作 $\frac{1}{2}\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)$、最小值 $1$，系漏排立方（上标 $3$）；由 $|AB|$ 与 $|FM|$ 相乘，正确应为三次式，最小值 $4$，历年试题汇编及豆丁、二一教育等详解均作 $S=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$、最小值 $4$，故按此录入．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦与面积

核心方法：设 $A(2t_1,t_1^2),B(2t_2,t_2^2)$，由 $\overrightarrow{AF}=\lambda \overrightarrow{FB}$ 得 $t_1=-\lambda t_2$，$t_2^2=\frac{1}{\lambda }$；切线交点 $M$，$\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{AB}=0$；$S=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$，$\lambda =1$ 时最小 $4$

避坑指南：焦点弦 $AF=\lambda FB$ 用参数表示后求切线交点；面积 $S=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\right)}^3$，最小 $4$（答案册漏立方误为 $1$）；均值不等式 $\sqrt{\lambda }+\frac{1}{\sqrt{\lambda }}\ge 2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 抛物线焦点弦与切线交点，解析几何压轴，考查定值与最值

结论推广: 参数化焦点弦，切线交点坐标，用向量点积证定值，均值不等式求最值

方法推广: 抛物线 $x^2=2py$ 的焦点弦与切线问题用参数坐标，最值用均值不等式

🔗【关联脉络】

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• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-陕西文-21 解-抛物线切线与向量垂直
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2012-辽宁卷文-12 单-抛物线双切线