2004-重庆文-21 解-抛物线与圆面积最值

本题导读

本题考查抛物线与圆的综合。核心在于用韦达定理与向量数量积证垂直，再由弦长确定圆面积并求最小值。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 设 $p>0$ 是一常数，过点 $Q(2p,0)$ 的直线与抛物线 $y^2=2px$ 交于相异两点 $A$、$B$，以线段 $AB$ 为直径作圆 $H$（$H$ 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 $H$ 的圆周上；并求圆 $H$ 的面积最小时直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设直线 $x=2p+\lambda y$，交点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$y_1,y_2$ 是 $y^2-2p\lambda y-4p^2=0$ 的两根。
2. $y_1+y_2=2p\lambda$，$y_1{y}_2=-4p^2$，$x_1{x}_2=4p^2$，故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，$OA\perp OB$。
3. 顶点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆上；圆面积 $S=\pi p^2({\lambda }^2+1)({\lambda }^2+4)⩾4\pi p^2$，$\lambda =0$ 即 $x=2p$ 时最小。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) 直线 $AB$ 的方程为 $x=2p$

✍【详细解析】

Abstract

（1）记抛物线顶点为 $O$.所取直线过 $Q(2p,0)$ 且与抛物线交于相异两点，故它不平行于 $x$ 轴，可设其方程为 $x=2p+\lambda y$.设交点为 $A=(x_1,y_1)$、$B=(x_2,y_2)$，则 $y_1,y_2$ 是方程 $y^2-2p\lambda y-4p^2=0$ 的两个不等实根，故 $y_1+y_2=2p\lambda$，$y_1{y}_2=-4p^2$，且 $x_i=2p+\lambda y_i$.于是 $x_1{x}_2=(2p+\lambda y_1)(2p+\lambda y_2)=4p^2+2p\lambda (y_1+y_2)+{\lambda }^2{y}_1{y}_2=4p^2+4p^2{\lambda }^2-4p^2{\lambda }^2=4p^2$，故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，即 $OA\perp OB$.由直径所对圆周角为直角的逆定理，顶点 $O$ 在以 $AB$ 为直径的圆 $H$ 上。 （2）由根差与判别式，$(y_1-y_2{)}^2=4p^2({\lambda }^2+4)$，又 $x_1-x_2=\lambda (y_1-y_2)$，故 $A{B}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2=4p^2({\lambda }^2+1)({\lambda }^2+4)$.圆 $H$ 半径为 $\frac{AB}{2}$，其面积 $S=\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=\pi p^2({\lambda }^2+1)({\lambda }^2+4)$.令 $u={\lambda }^2⩾0$，则 $(u+1)(u+4)=u^2+5u+4⩾4$，等号当且仅当 $u=0$，即 $\lambda =0$，此时直线 $AB$ 的方程为 $x=2p$，圆 $H$ 的面积最小。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线与圆面积最值
2. 核心方法：设直线 $x=2p+\lambda y$，交点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$y_1+y_2=2p\lambda$，$y_1{y}_2=-4p^2$，$x_1{x}_2=4p^2$，故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，顶点 $O$ 在圆 $H$ 上；$S=\pi p^2({\lambda }^2+1)({\lambda }^2+4)⩾4\pi p^2$，$\lambda =0$ 即 $x=2p$ 时最小
3. 避坑指南：直径所对圆周角为直角，证 $OA\perp OB$ 用数量积为零；$(u+1)(u+4)=u^2+5u+4⩾4$ 当 $u=0$ 取等，勿漏 $\lambda =0$ 对应直线 $x=2p$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线与圆，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$OA\perp OB\Rightarrow$ 顶点在直径圆上；圆面积由弦长定；韦达定理证垂直，弦长定圆面积求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-22 解-抛物线与圆方程
• 2004-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与向量定比
• 2005-全国卷III文-22 解-抛物线垂直平分线与焦点