2004-湖南文-22 解-抛物线与圆方程

本题导读

本题考查抛物线与圆的综合。核心在于用韦达定理与向量数量积证垂直，再由圆过两点且与抛物线相切列方程组求圆方程。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 如图，过抛物线 $x^2=4y$ 的对称轴上任一点 $P(0,m)$（$m>0$）作直线与抛物线交于 $A$、$B$ 两点，点 $Q$ 是点 $P$ 关于原点的对称点.

(1) 设点 $P$ 分有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 所成的比为 $\lambda$，证明：$\overrightarrow{QP}\perp (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$；

(2) 设直线 $AB$ 的方程是 $x-2y+12=0$，过 $A$、$B$ 两点的圆 $C$ 与抛物线在点 $A$ 处有共同的切线，求圆 $C$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4}),B(x_2,\frac{x_2^2}{4})$，过 $P(0,m)$ 得 $x_1{x}_2=-4m$，$\lambda =-\frac{x_1}{x_2}$。
2. 证 $\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}$ 是水平向量，$\overrightarrow{QP}$ 竖直，故垂直。
3. 联立 $AB$ 与抛物线得 $A(6,9),B(-4,4)$；切线斜率 $3$；圆方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 列三条件解 $D=3,E=-23,F=72$。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $x^2+y^2+3x-23y+72=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $A=(x_1,\frac{x_1^2}{4})$，$B=(x_2,\frac{x_2^2}{4})$，过这两点的直线方程为 $y=\frac{x_1+x_2}{4}x-\frac{x_1{x}_2}{4}$，因过 $P=(0,m)$，故 $x_1{x}_2=-4m$（$m>0$，$x_1,x_2$ 异号）．由 $P$ 分 $\overrightarrow{AB}$ 的比为 $\lambda$，即 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$，由 $P$ 横坐标为零得 $x_1+\lambda x_2=0$，$\lambda =-\frac{x_1}{x_2}$.又 $Q=(0,-m)$，$\overrightarrow{QP}=(0,2m)$，而 $\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB}$ 的纵坐标为 $(y_1+m)-\lambda (y_2+m)=\frac{x_1(x_1-x_2)}{4}-\left(-\frac{x_1}{x_2}\right)\left(-\frac{x_2(x_1-x_2)}{4}\right)=0$，即该向量为水平向量，故 $\overrightarrow{QP}\perp (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$. （2）联立 $x-2y+12=0$ 与 $x^2=4y$ 得 $x^2=2x+24$，即 $(x-6)(x+4)=0$，故 $A=(6,9)$，$B=(-4,4)$，直线在 $y$ 轴截距为 $6$，$P=(0,6)$，$Q=(0,-6)$.设圆 $C:x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，抛物线 $x^2=4y$ 在 $A(6,9)$ 处切线斜率 $y^{\prime }=\frac{x}{2}{|}_{x=6}=3$，圆在 $A$ 处与切线重合，对圆方程隐式求导得 $\frac{D+12}{E+18}$ 与切线斜率关系，列出 $\{\begin{array}{l}117+6D+9E+F=0\\ 32-4D+4E+F=0\\ D+3E+66=0\end{array}$，解得 $D=3$，$E=-23$，$F=72$，故圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2+3x-23y+72=0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线与圆方程
2. 核心方法：$x^2=4y$ 对称轴上任一点 $P(0,m)$，$Q(0,-m)$；（1）设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4})$ 等，由 $x_1{x}_2=-4m$ 证 $\overrightarrow{QP}\perp (\overrightarrow{QA}-\lambda \overrightarrow{QB})$；（2）$AB:x-2y+12=0$ 联立得 $A(6,9),B(-4,4)$，切线斜率 $3$，圆方程 $x^2+y^2+3x-23y+72=0$
3. 避坑指南：$\lambda =-\frac{x_1}{x_2}$；证垂直用数量积为零；圆过 $A,B$ 且切线重合，列三方程解 $D,E,F$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线与圆方程，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：过两定点且与曲线相切的圆，用三条件定 $D,E,F$；韦达证垂直，切线斜率相等定圆，解三元方程组

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-22 解-抛物线焦点弦与向量定比
• 2005-上海卷文-21 解-抛物线与直线圆位置
• 2005-全国卷III文-22 解-抛物线垂直平分线与焦点