2005-上海卷文-21 解-抛物线与直线圆位置

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程，以及直线与圆位置关系的讨论，核心在于用圆心距与半径比较并单独处理 $m=4$ 的垂直情形。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 已知抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点为 $F$，$A$ 是抛物线上横坐标为 $4$、且位于 $x$ 轴上方的点，$A$ 到抛物线准线的距离等于 $5$．过 $A$ 作 $AB$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $B$，$OB$ 的中点为 $M$．

(1) 求抛物线方程；

(2) 过 $M$ 作 $MN\perp FA$，垂足为 $N$，求点 $N$ 的坐标；

(3) 以 $M$ 为圆心，$MB$ 为半径作圆 $M$，当 $K(m,0)$ 是 $x$ 轴上一动点时，讨论直线 $AK$ 与圆 $M$ 的位置关系．

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 准线 $x=-\frac{p}{2}$，$4+\frac{p}{2}=5$ 得 $p=2$，方程 $y^2=4x$。
2. (2) $A(4,4)$，$B(0,4)$，$M(0,2)$，$F(1,0)$；$k_{FA}=\frac{4}{3}$，$k_{MN}=-\frac{3}{4}$，两直线方程联立解得 $N\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)$。
3. (3) 圆心 $M(0,2)$、半径 $2$；$m=4$ 时直线 $x=4$ 相离；$m\ne 4$ 时 $d=\frac{|2m+8|}{\sqrt{16+(m-4{)}^2}}$，与 $2$ 比较得：$m<1$ 相交、$m=1$ 相切、$m>1$ 相离。

✅【答案】

Success

当 $m<1$ 时直线 $AK$ 与圆 $M$ 相交；当 $m=1$ 时相切；当 $m>1$（含 $m=4$）时相离

✍【详细解析】

Abstract

(1) 抛物线准线为 $x=-\frac{p}{2}$，$A$ 的横坐标为 $4$，由抛物线定义 $A$ 到准线的距离为 $4+\frac{p}{2}=5$，得 $p=2$． 故抛物线方程为 $y^2=4x$． (2) 由 $y^2=4x$ 与 $x=4$ 得 $y=4$（$A$ 在 $x$ 轴上方），故 $A(4,4)$，$B(0,4)$，$M(0,2)$，$F(1,0)$． $k_{FA}=\frac{4-0}{4-1}=\frac{4}{3}$，故 $k_{MN}=-\frac{3}{4}$，直线 $FA$：$y=\frac{4}{3}(x-1)$，直线 $MN$：$y-2=-\frac{3}{4}x$． 联立 $\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x-\frac{4}{3},\\ y=-\frac{3}{4}x+2,\end{array}$ 解得 $x=\frac{8}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，故 $N\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)$． (3) 圆 $M$：圆心 $(0,2)$，半径 $MB=2$． 当 $m=4$ 时，直线 $AK$ 的方程为 $x=4$，圆心到直线的距离为 $4>2$，相离． 当 $m\ne 4$ 时，直线 $AK$：$\frac{y-0}{x-m}=\frac{4}{4-m}$，即 $4x-(4-m)y-4m=0$， 圆心 $M(0,2)$ 到直线的距离 $d=\frac{\left|4\times 0-(4-m)\times 2-4m\right|}{\sqrt{16+(4-m{)}^2}}=\frac{2m+8}{\sqrt{16+(m-4{)}^2}}$（$m>-4$ 时分子为正）． 令 $d=2$，即 $(2m+8{)}^2=4\left[16+(m-4{)}^2\right]$，化简得 $16m=16$，$m=1$，此时相切． 令 $d<2⟺m+4<\sqrt{(m-4{)}^2+16}$（$m>-4$），平方整理得 $16m<16$，即 $m<1$，此时相交；$m>1$ 时 $d>2$，相离． 综上：当 $m<1$ 时直线 $AK$ 与圆 $M$ 相交；当 $m=1$ 时相切；当 $m>1$（含 $m=4$）时相离． 注：答案册将”相离”与”相交”的表述印反（“当 $m<1$ 或 $m=4$ 时相离…当 $m>1$ 且 $m\ne 4$ 时相交”），与复算不符；21cnjy、百度文库、精英家教网、夜雨聆风四源官方解析均为”$m>1$ 相离、$m=1$ 相切、$m<1$ 相交”，故按复算订正．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与直线圆位置

核心方法：(1) 由焦点准线距 $4+\frac{p}{2}=5$；(3) 圆心距 $d=\frac{|2m+8|}{\sqrt{16+(m-4{)}^2}}$ 与 $2$ 比大小

避坑指南：$m=4$ 时直线 $x=4$ 须单独讨论；距离比较先平方去根号再整理成一次不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线定义（到焦点准线距离相等）是圆锥曲线章起点

结论推广：由 $|AF|=x_A+\frac{p}{2}$ 快速定 $p$

方法推广：直线与圆位置关系用圆心距与半径比较，$m=4$ 垂直情形单独讨论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷II文-21 解-椭圆
• 2014-大纲卷理-21 解-抛物线定义与性质