2004-上海卷文-20 解-抛物线面积最值

本题导读

本题考查抛物线与直线的位置关系，以及三角形面积的最值。核心在于联立求弦端点与垂直平分线，再以 $OQ$ 为底把面积化为二次函数配方求最值。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 如图，直线 $y=\frac{x}{2}$ 与抛物线 $y=\frac{x^2}{8}-4$ 交于 $A$、$B$ 两点，线段 $AB$ 的垂直平分线与直线 $y=-5$ 交于 $Q$ 点.

(1) 求点 $Q$ 的坐标；

(2) 当 $P$ 为抛物线上位于线段 $AB$ 下方（含 $A$、$B$）的动点时，求 $△OPQ$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立 $\frac{x}{2}=\frac{x^2}{8}-4$：$x^2-4x-32=0$，$A(-4,-2)$、$B(8,4)$。
2. 中点 $(2,1)$，垂线 $y=-2x+5$，交 $y=-5$ 得 $Q(5,-5)$。
3. $S=\frac{1}{2}\cdot |OQ|\cdot d(P,OQ)$，$OQ$ 在直线 $x+y=0$ 上，化简配方求最大 $30$。

✅【答案】

Success

(1) $Q(5,-5)$

(2) 最大值 $30$

✍【详细解析】

Abstract

（1）联立直线与抛物线方程，得 $\frac{x}{2}=\frac{x^2}{8}-4⟺x^2-4x-32=0⟺(x-8)(x+4)=0$，所以 $A(-4,-2)$，$B(8,4)$，线段 $AB$ 的中点为 $M(2,1)$.直线 $AB$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$，故其垂直平分线为 $y-1=-2(x-2)$，即 $y=-2x+5$.令 $y=-5$，得 $x=5$，所以 $Q(5,-5)$. （2）设 $P\left(x,\frac{x^2}{8}-4\right)$.因为 $P$ 位于线段 $AB$ 下方（含端点），所以 $-4⩽x⩽8$.直线 $OQ$ 的方程为 $x+y=0$，于是 $S_{△OPQ}=\frac{1}{2}\left|-5x-5\left(\frac{x^2}{8}-4\right)\right|=\frac{5}{2}\left|\frac{(x+4{)}^2}{8}-6\right|$. 当 $-4⩽x⩽8$ 时，$\frac{(x+4{)}^2}{8}-6$ 的取值范围为 $[-6,12]$，故其绝对值的最大值为 $12$.因此 $△OPQ$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}\times 12=30$，此时 $x=8$，即 $P$ 与 $B$ 重合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线面积最值
2. 核心方法：联立 $y=\frac{x}{2}$ 与 $y=\frac{x^2}{8}-4$ 得 $A(-4,-2),B(8,4)$，中点 $(2,1)$，垂线 $y=-2x+5$ 交 $y=-5$ 得 $Q(5,-5)$；$S_{△OPQ}=\frac{1}{2}|-5x-5y_P|$，$P(x,\frac{x^2}{8}-4)$ 化为 $\frac{5}{2}\left|\frac{(x+4{)}^2}{8}-6\right|$，$x\in [-4,8]$ 上最大 $30$（$P=B$）
3. 避坑指南：面积用 $OQ$ 所在直线 $x+y=0$ 的距离公式转化；绝对值最大在区间端点 $x=8$ 处取得，勿只看顶点

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线与直线的位置关系，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：弦的中垂线方程由中点与斜率负倒数写出；联立求交点，面积用底 $OQ$ 与点到直线距离转化，配方求最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-21 解-抛物线与直线圆位置
• 2007-湖北文-21 解-抛物线面积与定弦长
• 2014-四川卷文-10 单-抛物线面积最值