2005-全国卷III文-22 解-抛物线垂直平分线与焦点

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与性质、焦点与垂直平分线。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 两点在抛物线 $y=2x^2$ 上，$l$ 是 $AB$ 的垂直平分线．

(1)当且仅当 $x_1+x_2$ 取何值时，直线 $l$ 经过抛物线的焦点 $F$？证明你的结论；

(2)当 $x_1=1$，$x_2=-3$ 时，求直线 $l$ 的方程．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抛物线 $y=2x^2$ 即 $x^2=\frac{1}{2}y$，焦点 $F\left(0,\frac{1}{4}\right)$。
2. $l$ 是 $AB$ 垂直平分线，$F$ 在 $l$ 上 $\iff FA=FB$。
3. 由 $A=(x_1,2x_1^2)$，$B=(x_2,2x_2^2)$ 算 $F{A}^2-F{B}^2$，因式分解得 $x_1+x_2=0$。

✅【答案】

Success

(1) 当且仅当 $x_1+x_2=0$ 时，直线 $l$ 经过抛物线的焦点 $F$；(2) $l$ 的方程为 $x-4y+41=0$

✍【详细解析】

Abstract

（1）将抛物线写成 $x^2=\frac{1}{2}y$，其焦点为 $F\left(0,\frac{1}{4}\right)$． $l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，故 $F$ 在 $l$ 上的充要条件是 $FA=FB$． 由 $A=(x_1,2x_1^2)$，$B=(x_2,2x_2^2)$，有 $F{A}^2-F{B}^2=x_1^2-x_2^2+{\left(2x_1^2-\frac{1}{4}\right)}^2-{\left(2x_2^2-\frac{1}{4}\right)}^2=4(x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)$． 因 $x_1^2+x_2^2>0$，故 $FA=FB⟺x_1^2=x_2^2$，又 $A,B$ 为两点（$x_1\ne x_2$），故 $x_1=-x_2$，即 $x_1+x_2=0$． 因此当且仅当 $x_1+x_2=0$ 时，直线 $l$ 经过焦点 $F$． （2）当 $x_1=1,x_2=-3$ 时，$A=(1,2)$，$B=(-3,18)$，中点 $M=(-1,10)$． 直线 $AB$ 的斜率为 $\frac{18-2}{-3-1}=-4$，故垂直平分线 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$． 由点斜式 $y-10=\frac{1}{4}(x+1)$，即 $l$ 的方程为 $x-4y+41=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线垂直平分线与焦点

核心方法：抛物线 $x^2=\frac{1}{2}y$ 焦点 $F\left(0,\frac{1}{4}\right)$；$l$ 过 $F⟺FA=FB⟺x_1^2=x_2^2⟺x_1+x_2=0$（$x_1\ne x_2$）；$x_1=1,x_2=-3$ 时 $l:x-4y+41=0$

避坑指南：垂直平分线过焦点 $\iff$ 焦点到两端点等距；$F{A}^2-F{B}^2$ 因式分解得 $x_1+x_2=0$；求 $l$ 先算 $AB$ 斜率再取负倒数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线垂直平分线与焦点是解析几何综合

结论推广：垂直平分线过焦点 $\iff$ 焦点到两端点等距

方法推广：用距离差因式分解，求垂直平分线方程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-14 填-抛物线焦点三角形
• 2009-大纲Ⅱ文-11 单-抛物线焦半径定斜率