2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数

本题导读

本题考查反函数的求法，以及定义域与值域的对应关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 函数 $y=\frac{1}{x+5}$（$x\ne -5$）的反函数是()

A. $y=\frac{1}{x}-5$（$x\ne 0$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=x+5$（$x\in \mathbf{R}$）

C. $y=\frac{1}{x}+5$（$x\ne 0$）　　　　　　　　　　　　　　D. $y=x-5$（$x\in \mathbf{R}$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原函数值域：$y\ne 0$。
2. 交换 $x,y$ 得 $x=\frac{1}{y+5}$，反解 $y=\frac{1}{x}-5$。
3. 反函数定义域取原值域 $x\ne 0$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{1}{x+5}$ 交换 $x,y$ 得 $x=\frac{1}{y+5}$.原函数的值域不包含 $0$，故反函数的定义域为 $x\ne 0$.解得 $y=\frac{1}{x}-5$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式函数反函数
2. 核心方法：$y=\frac{1}{x+5}$ 值域 $y\ne 0$；反解 $x=\frac{1}{y}-5$，反函数 $y=\frac{1}{x}-5$（$x\ne 0$）
3. 避坑指南：反函数定义域是原函数值域（$y\ne 0$），不是照抄原定义域——$\frac{1}{x}-5$ 别写成 $-\frac{5}{x}$ 之类

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数概念，教材”反函数”分式型函数
2. 结论推广: 一般化：$y=\frac{1}{x+a}$ 的反函数 $y=\frac{1}{x}-a$（$x\ne 0$）；反函数三步：反解、互换、定义域取原值域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-04 单-根式函数反函数
• 2005-全国卷II文-03 单-二次函数求反函数
• 2006-全国卷II文-08 单-对数函数求反函数