2004-全国卷I文-04 单-根式函数反函数

本题导读

本题考查反函数的求法，以及定义域与值域的对应关系。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 函数 $y=\sqrt{x-1}+1$（$x⩾1$）的反函数是()

A. $y=x^2-2x+2$（$x<1$）　　　　　　　　　　　B. $y=x^2-2x+2$（$x⩾1$）

C. $y=x^2-2x$（$x<1$）　　　　　　　　　　　　D. $y=x^2-2x$（$x⩾1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原函数值域：$x⩾1$ 时 $y⩾1$。
2. 反解：$\sqrt{x-1}=y-1$，$x=(y-1{)}^2+1=y^2-2y+2$。
3. 互换 $x,y$，定义域取原函数值域 $[1,+\infty )$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩾1$ 时 $y=\sqrt{x-1}+1⩾1$，即原函数值域为 $[1,+\infty )$.由 $y-1=\sqrt{x-1}$ 得 $x=(y-1{)}^2+1=y^2-2y+2$.互换 $x,y$ 得反函数 $y=x^2-2x+2$，其定义域为原函数值域 $[1,+\infty )$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：根式函数反函数
2. 核心方法：$y=\sqrt{x-1}+1$ 值域 $[1,+\infty )$；反解 $x=(y-1{)}^2+1=y^2-2y+2$，故反函数 $y=x^2-2x+2(x\ge 1)$
3. 避坑指南：反函数定义域是原函数值域 $[1,+\infty )$，写成 $x\ge 1$ 不是 $x<1$；反解时先移项再平方

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数概念，教材”反函数”根式型函数求反函数
2. 结论推广: 一般化：$y=\sqrt{x-a}+b$ 的反函数为 $y=(x-b{)}^2+a$，定义域 $[b,+\infty )$；求反函数三步：反解 $x$、互换 $x,y$、定义域取原函数值域

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II文-03 单-二次函数求反函数
• 2006-全国卷I文-03 单-反函数对数恒等式
• 2005-浙江卷文-11 填-反函数的求法