2004-湖南文-03 单-反函数不等式

本题导读

本题考查反函数的求法，以及不等式恒成立的判定。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 设 $f^{-1}(x)$ 是函数 $f(x)=\sqrt{x}$ 的反函数，则下列不等式中恒成立的是()

A. $f^{-1}(x)⩽2x-1$　B. $f^{-1}(x)⩽2x+1$　C. $f^{-1}(x)⩾2x-1$　D. $f^{-1}(x)⩾2x+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=\sqrt{x}$ 的反函数 $f^{-1}(x)=x^2$（$x⩾0$）。
2. $x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2⩾0$，恒有 $x^2⩾2x-1$。
3. 故选 C（$x^2⩾2x+1$ 不恒成立）。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)=\sqrt{x}$ 得反函数 $f^{-1}(x)=x^2$，其中 $x⩾0$.因为 $x^2-(2x-1)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2⩾0$，所以 $f^{-1}(x)⩾2x-1$ 对一切 $x⩾0$ 恒成立；而 $x^2-(2x+1)=x^2-2x-1$ 并不恒非负（如 $x=1$ 时 $1-3<0$），故只有 C 正确，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数不等式
2. 核心方法：$f(x)=\sqrt{x}$ 的反函数 $f^{-1}(x)=x^2$（$x⩾0$）；$x^2-(2x-1)=(x-1{)}^2⩾0$ 恒成立，故 $f^{-1}(x)⩾2x-1$
3. 避坑指南：反函数定义域 $x⩾0$；作差配平方判恒成立，注意 $2x+1$ 恒 $>x^2$？作差 $x^2-2x-1$ 不恒号，故选 C

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数与不等式，教材”基本初等函数”
2. 结论推广: 一般化：比较 $f^{-1}(x)$ 与一次式，可作差配平方；求反函数后代差配平方判恒成立

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-04 单-根式函数反函数
• 2005-全国卷I文-07 单-根式函数反函数
• 2004-天津文-09 单-反函数求法