2005-全国卷I文-07 单-根式函数反函数

本题导读

本题考查求给定函数的反函数。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） $y=\sqrt{2x-x^2}$（$1\le x\le 2$）的反函数是()

A. $y=1+\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 1$）　　　　　　　　　　B. $y=1+\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le 1$）

C. $y=1-\sqrt{1-x^2}$（$-1\le x\le 1$）　　　　　　　　　　D. $y=1-\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le 1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原函数值域：$2x-x^2=1-(x-1{)}^2\in [0,1]$，$y\in [0,1]$，此即反函数定义域。
2. 平方解出 $x$：$x^2-2x+y^2=0$，$x=1\pm \sqrt{1-y^2}$。
3. 由 $x\in [1,2]$ 取 $x=1+\sqrt{1-y^2}$，互换得 $y=1+\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le 1$）。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\sqrt{2x-x^2}$，$x\in [1,2]$：$2x-x^2=1-(x-1{)}^2$，当 $x$ 从 $1$ 增到 $2$ 时其值从 $1$ 降到 $0$，故 $y\in [0,1]$． 两边平方：$y^2=2x-x^2$，即 $x^2-2x+y^2=0$，解得 $x=1\pm \sqrt{1-y^2}$． 因 $x\in [1,2]$，$x-1\ge 0$，故取 $x=1+\sqrt{1-y^2}$． 互换 $x$、$y$ 得反函数 $y=1+\sqrt{1-x^2}$，定义域为原函数的值域 $[0,1]$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式函数反函数

核心方法：$y=\sqrt{2x-x^2}$ 的值域为 $[0,1]$，解出 $x=1+\sqrt{1-y^2}$，故反函数 $y=1+\sqrt{1-x^2}$（$0\le x\le 1$）

避坑指南：反函数的定义域是原函数的值域 $[0,1]$，别照抄原定义域；开方取正号由 $x\in [1,2]$ 时 $x=1+\sqrt{1-y^2}$ 决定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于反函数的概念，教材”反函数”一节根式型函数的典型题

结论推广：一般化：$y=\sqrt{-x^2+2x}$ 型半圆弧函数的反函数仍是 $1\pm \sqrt{1-x^2}$ 型，符号与区间由原函数单调性定

方法推广：求反函数三步：解出 $x$（选对分支）、互换 $x,y$、写出定义域即原函数值域

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-06 单-反函数求值
• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2006-全国卷I文-03 单-反函数对数恒等式
• 2009-陕西卷文-03 单-反函数