2006-全国卷I文-03 单-反函数对数恒等式

本题导读

本题考查反函数，以及互为反函数的图象关系。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(文)） 已知函数 $y=e^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则()

A. $f(2x)=e^{2x}$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　B. $f(2x)=\ln 2\cdot \ln x$（$x>0$）

C. $f(2x)=2e^x$（$x\in \mathbf{R}$）　　　　　　　　　　　D. $f(2x)=\ln x+\ln 2$（$x>0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 图象关于 $y=x$ 对称，说明 $y=f(x)$ 是 $y=e^x$ 的反函数。
2. 故 $f(x)=\ln x$（$x>0$）。
3. $f(2x)=\ln (2x)=\ln x+\ln 2$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $y=e^x$ 与 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，所以 $f(x)$ 是 $y=e^x$ 的反函数， 即 $f(x)=\ln x$（$x>0$）． 故 $f(2x)=\ln (2x)=\ln x+\ln 2$（$x>0$）． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数对数恒等式

核心方法：$y=e^x$ 关于 $y=x$ 对称的是 $y=\ln x$，故 $f(2x)=\ln (2x)=\ln x+\ln 2$

避坑指南：关于 $y=x$ 对称即互为反函数，$f(x)=\ln x$ 而非 $e^x$；$\ln (2x)=\ln x+\ln 2$ 是对数性质，别写成 $\ln 2\cdot \ln x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 源于互为反函数的图象关于 $y=x$ 对称，教材”反函数”一节

结论推广: 一般化：$y=a^x$ 与 $y={\log }_{a}x$ 互为反函数，图象关于 $y=x$ 对称；$f(2x)$ 需先求 $f$ 再代入

方法推广: 关于 $y=x$ 对称即互为反函数，先写出反函数解析式再代入自变量的表达式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-06 单-反函数求值
• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2009-陕西卷文-03 单-反函数