2005-全国卷II文-03 单-二次函数求反函数

本题导读

本题考查反函数的求法。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 函数 $y=x^2-1$（$x\le 0$）的反函数是()

A. $y=\sqrt{x+1}$（$x\ge -1$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=-\sqrt{x+1}$（$x\ge -1$）

C. $y=\sqrt{x+1}$（$x\ge 0$）　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=-\sqrt{x+1}$（$x\ge 0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=x^2-1$ 且 $x\le 0$，反解得 $x=-\sqrt{y+1}$。
2. 又由 $x\le 0$ 得 $y=x^2-1\ge -1$，即原函数值域为 $[-1,+\infty )$。
3. 交换 $x,y$，反函数为 $y=-\sqrt{x+1}$，定义域 $x\ge -1$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=x^2-1$ 且 $x\le 0$，反解出 $x=-\sqrt{y+1}$（因 $x\le 0$ 取负号）． 又 $x\le 0$ 时 $y=x^2-1\ge -1$，故原函数值域为 $[-1,+\infty )$． 交换 $x,y$，得反函数 $y=-\sqrt{x+1}$，其定义域为 $x\ge -1$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数求反函数

核心方法：$y=x^2-1$（$x\le 0$）反解得 $x=-\sqrt{y+1}$，交换 $x,y$ 得反函数 $y=-\sqrt{x+1}$（$x\ge -1$）

避坑指南：开方时 $x\le 0$ 取负号 $x=-\sqrt{y+1}$；定义域由值域 $y\ge -1$ 定，别写 $x\ge 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数限制定义域后反解是反函数基本功

结论推广：反函数定义域 $=$ 原函数值域

方法推广：先解出 $x$（注意开方正负号），再交换 $x,y$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2008-四川文-02 单-对数型反函数
• 2009-大纲Ⅰ文-06 单-反函数求值