2002-大纲文-14 填-反函数图象交点

本题导读

本题考查反函数，以及函数图象与反函数图象的交点。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 函数 $y=\frac{2x}{1+x}$（$x\in (-1,+\infty )$）图象与其反函数图象的交点为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数图象交点在 $y=x$ 上。
2. 令 $\frac{2x}{1+x}=x$ 求解。

✅【答案】

Success

$(0,0)$，$(1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

函数与其反函数图象的交点必在直线 $y=x$ 上，令 $\frac{2x}{1+x}=x$，由 $x>-1$ 得 $x(1+x)=2x$，即 $x(x-1)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$，代回得交点为 $(0,0)$，$(1,1)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数图象交点

核心方法：反函数图象交点在 $y=x$ 上，令 $\frac{2x}{1+x}=x$ 得 $x=0$ 或 $1$，交点为 $(0,0),(1,1)$

避坑指南：函数与反函数交点必在 $y=x$ 上

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数

结论推广：一般地，函数与反函数图象交点落在 $y=x$ 上

方法推广：令 $f(x)=x$ 求解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-07 单-对数函数图象交点
• 2003-上海文-15 单-指数函数与反函数交点
• 2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数