2003-上海文-15 单-指数函数与反函数交点

本题导读

本题考查指数函数与其反函数的图象交点，以及反函数的概念。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 在 $P(1,1)$，$Q(1,2)$，$M(2,3)$ 和 $N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$ 四点中，函数 $y=a^x$ 的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点()

A. $P$　　　　　　　B. $Q$　　　　　　　C. $M$　　　　　　　D. $N$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 公共点 $(x,y)$ 须满足 $y=a^x$ 且 $x=a^y$。
2. 逐一检验四点。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

公共点须满足 $y=a^x$ 且 $x=a^y$.检验 $N\left(\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)$：由 $\frac{1}{4}=a^{1/2}$ 得 $a=\frac{1}{16}$，此时反函数为 $y={\log }_{1/16}x$，${\log }_{1/16}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，故 $N$ 是公共点。而 $P,Q,M$ 均不满足（$P$ 需 $a=1$，$Q$ 需 $a=2$ 但 ${\log }_{2}1=0\ne 2$，$M$ 需 $a=\sqrt{3}$ 但 ${\log }_{\sqrt{3}}2\ne 3$）．故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数与反函数交点
2. 核心方法：指数函数与其反函数交点必在 $y=x$ 上，检验 $N(\frac{1}{2},\frac{1}{4})$：$a=\frac{1}{16}$，${\log }_{1/16}\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，选 D
3. 避坑指南：交点坐标须同时满足 $y=a^x$ 与 $x=a^y$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材指数函数与反函数
2. 结论推广: 一般地，互为反函数的图象交点落在 $y=x$ 上；交点坐标代入两函数同时验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-15 单-反函数
• 2004-全国卷IV文-02 单-指数函数反函数
• 2008-辽宁文-13 填-指数函数反函数