2004-全国卷IV文-02 单-指数函数反函数

本题导读

本题考查指数函数的反函数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(文)） 函数 $y=e^{2x}$（$x\in \mathbf{R}$）的反函数为()

A. $y=2\ln x$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\ln (2x)$（$x>0$）

C. $y=\frac{1}{2}\ln x$（$x>0$）　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\frac{1}{2}\ln 2x$（$x>0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $y=e^{2x}$，交换 $x,y$ 得 $x=e^{2y}$。
2. 取对数 $2y=\ln x$，$y=\frac{1}{2}\ln x$。
3. 定义域 $x>0$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=e^{2x}$，交换 $x,y$ 得 $x=e^{2y}$，两边取自然对数得 $2y=\ln x$，故 $y=\frac{1}{2}\ln x$，定义域为 $x>0$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数函数反函数
2. 核心方法：$y=e^{2x}$：$2x=\ln y$，$x=\frac{1}{2}\ln y$，互换得 $y=\frac{1}{2}\ln x$（$x>0$）
3. 避坑指南：反解后 $x$ 的系数是 $\frac{1}{2}$ 不是 $2$——$e^{2x}$ 反函数是 $\frac{1}{2}\ln x$，别写成 $2\ln x$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数概念，教材”反函数”
2. 结论推广: 一般化：$y=e^{ax}$ 的反函数 $y=\frac{1}{a}\ln x$（$x>0$）；指数函数反函数是对数，注意系数取倒数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-08 单-对数函数求反函数
• 2006-安徽文-03 单-指数型反函数
• 2006-四川文-02 单-对数型反函数