2006-四川文-02 单-对数型反函数

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2006年四川卷(文)） 函数 $f(x)=\ln (x-1)$（$x>1$）的反函数是()

A. $f^{-1}(x)=e^x+1$（$x\in \mathbb{R}$）　　　　　　　　B. $f^{-1}(x)=10^x+1$（$x\in \mathbb{R}$）

C. $f^{-1}(x)=10^x+1$（$x>1$）　　　　　　　　D. $f^{-1}(x)=e^x+1$（$x>1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=\ln (x-1)$，反解：$x-1=e^y$，$x=e^y+1$。
2. 互换 $x,y$：$y=e^x+1$。
3. 反函数定义域为原函数值域 $\mathbb{R}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\ln (x-1)$，反解得 $x-1=e^y$，即 $x=e^y+1$． 互换 $x$、$y$ 得反函数 $y=e^x+1$，即 $f^{-1}(x)=e^x+1$． 原函数 $f(x)=\ln (x-1)$（$x>1$）的值域为 $\mathbb{R}$，故反函数定义域为 $x\in \mathbb{R}$，选 A． （注意：$\ln$ 是以 $e$ 为底的对数，反函数用 $e^x$ 而非 $10^x$．）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型反函数

核心方法：由 $y=\ln (x-1)$ 得 $x=e^y+1$，反函数为 $y=e^x+1$，定义域为 $x\in \mathbb{R}$

避坑指南：注意 $\ln$ 是以 $e$ 为底，反函数是 $e^x$ 而非 $10^x$；反函数定义域是原函数值域 $\mathbb{R}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 反函数是函数概念的镜像，$y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)$

结论推广: 对数函数与指数函数互为反函数，底数不变

方法推广: 求反函数三步：反解、互换 $x,y$、注明定义域

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-02 单-对数型反函数
• 2008-重庆文-06 单-指数型反函数
• 2010-大纲Ⅱ文-04 单-对数反函数
• 2011-四川卷文-04 单-反函数图象