2004-全国卷IV理-02 单-反函数与求法

本题导读

本题考查反函数的概念与求法。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 函数 $y={\text{e}}^{2x}(x\in \mathbf{R})$ 的反函数为 ()

A. $y=2\ln x(x>0)$　　　　　　　　　　　B. $y=\ln (2x)(x>0)$

C. $y=\frac{1}{2}\ln x(x>0)$　　　　　　　　　　D. $y=\frac{1}{2}\ln 2x(x>0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解自变量 $x$：从已知方程 $y={\text{e}}^{2x}$ 出发，两边同时取自然对数 $\ln$，将隐蔽在指数位置的 $x$ 释放出来，解出 $x$ 关于 $y$ 的代数表达式。
2. 定义域转化：反函数的定义域等于原函数的值域。因为原函数 $y={\text{e}}^{2x}$ 是指数型函数，对于任意实数 $x$，其函数值 $y$ 恒大于 0，故反函数的定义域为 $x>0$。
3. 变量互换：将 $x$ 写成 $y$ 的表达式后，将 $x$ 换写为 $y$， $y$ 换写为 $x$，即得反函数解析式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 由原函数方程： $y={\text{e}}^{2x}$ 因为对于任意 $x\in \mathbf{R}$，指数式 ${\text{e}}^{2x}$ 恒大于 0，所以原函数的值域为 $(0,+\infty )$，即反函数的定义域为 $x>0$。

在原方程两边同时取以 \text{e}} 为底的自然对数，得： $\ln y=\ln ({\text{e}}^{2x})$ 根据对数性质 $\ln ({\text{e}}^t)=t$，上式化简为： $\ln y=2x$ 两边同时除以 2，解出 $x$： $x=\frac{1}{2}\ln y$

将上式中的自变量 $x$ 与因变量 $y$ 进行位置对调，并加上定义域限制，得到反函数为： $y=\frac{1}{2}\ln x(x>0)$

对照选项，正确答案为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数与指数的互化公式 $y=a^x⟺x={\log }_{a}y$、反函数求法三步走。
2. 核心方法：代数反解法。
3. 避坑指南：
   • 取对数时切记不要弄错运算系数值。有同学两边取对数时错看成 $\ln y=\frac{1}{2}x⟹x=2\ln y$，导致错选 (A)；或者误将系数 $\frac{1}{2}$ 放到对数号内部变成 $\ln (2x)$，导致错选 (B)。
   • 牢记反函数的定义域是原函数的值域，由于指数函数的值域要求严格大于 0，故所有选项后均标有 $(x>0)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典基础初等函数互逆函数基本运算题。
2. 结论推广: 一般地，复合指数函数 $y=a^{kx}(a>0,a\ne 1,k\ne 0)$ 的反函数满足通用关系式： $y=\frac{1}{k}{\log }_{a}x(x>0)$。本题中 $a=\text{e},k=2$，代入该通式即可秒杀： $y=\frac{1}{2}\ln x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-02 单-对数型反函数
• 2006-江西文-14 填-反函数求值
• 1986-全国理-02 单-反函数的求解