2003-辽宁卷-07 单-反函数的概念与求解方法

本题导读

本题核心考查反函数的求解方法。解题关键在于“双步走”：第一步是通过对数与指数的互化关系，反解出以 $y$ 表示 $x$ 的代数式；第二步是求出原函数的值域，将其作为反函数的定义域，最后进行自变量字母的常规对调。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 函数 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$, $x\in (1,+\infty )$ 的反函数为()

A. $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$, $x\in (0,+\infty )$　B. $y=\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$, $x\in (0,+\infty )$

C. $y=\frac{{\text{e}}^x-1}{{\text{e}}^x+1}$, $x\in (-\infty ,0)$　D. $y=\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$, $x\in (-\infty ,0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反解自变量 $x$：利用自然对数与底数为 $\text{e}$ 的指数函数互逆关系，将 $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$ 转化为 ${\text{e}}^y=\frac{x+1}{x-1}$，然后通过交叉相乘、合并同类项，反解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。

2. 确定反函数的定义域：反函数的定义域即为原函数的值域。已知原函数自变量 $x>1$，分析真数部分 $\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$ 的取值范围，进而确定对数函数值 $y$ 的取值区间。

3. 字母对调归纳：将反解出的表达式中的 $x$ 与 $y$ 互换，并附带上步求得的定义域区间。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：反解自变量 $x$ 由原函数方程： $y=\ln \frac{x+1}{x-1}$

根据对数的定义，将其转化为指数式： ${\text{e}}^y=\frac{x+1}{x-1}$

两边同时乘以 $(x-1)$： ${\text{e}}^y(x-1)=x+1$ $x{\text{e}}^y-{\text{e}}^y=x+1$

将所有含 $x$ 的项移到方程左边，其余项移到右边： $x{\text{e}}^y-x={\text{e}}^y+1$

提取公因式 $x$： $x({\text{e}}^y-1)={\text{e}}^y+1$

由此反解出 $x$： $x=\frac{{\text{e}}^y+1}{{\text{e}}^y-1}$

第二步：求原函数的值域（即反函数的定义域） 已知原函数的定义域为 $x\in (1,+\infty )$。 分析真数部分的分式结构： $\frac{x+1}{x-1}=\frac{(x-1)+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$

因为 $x>1$，所以 $x-1>0$，从而有 $\frac{2}{x-1}>0$。 则真数部分的取值范围为： $1+\frac{2}{x-1}\in (1,+\infty )$

由于自然对数函数 $y=\ln u$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，当 $u>1$ 时： $y=\ln u>\ln 1=0$ 即原函数的值域为 $(0,+\infty )$。

第三步：互换字母得出结论 将第一步得到的 $x=\frac{{\text{e}}^y+1}{{\text{e}}^y-1}$ 中的 $x$ 与 $y$ 互换，并将原函数的值域作为其定义域，得到反函数为： $y=\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1},x\in (0,+\infty )$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的标准代数求解流程，对数与指数方程的互化变形，分式变形求函数值域。
2. 核心方法：反解法。
3. 避坑指南：

   • 极易忽略求反函数必须写出其定义域的硬性规范，如果不算值域，在 A、B 与 C、D 之间将无法进行有效甄别。

   • 在求真数 $\frac{x+1}{x-1}$ 的范围时，避免盲目代入特殊值，采用 $1+\frac{2}{x-1}$ 的常数分离法最为严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于函数板块中经典的常规反函数求解题，直接考查教材中反函数存在性、定义域与值域对偶互换等核心代数基本功。
2. 结论推广: 在高等数学中，本题反函数解析式右侧的结构 $\frac{{\text{e}}^x+1}{{\text{e}}^x-1}$ 通过分子分母同除以 ${\text{e}}^{\frac{x}{2}}$，可以改写为： $y=\frac{{\text{e}}^{\frac{x}{2}}+{\text{e}}^{-\frac{x}{2}}}{{\text{e}}^{\frac{x}{2}}-{\text{e}}^{-\frac{x}{2}}}=\coth \left(\frac{x}{2}\right)$ 这属于双曲余切函数。而原函数则对应着反双曲余切函数的分式展开形态。双曲函数家族在非欧几何、狭义相对论的速度坐标系复合运算中具有广泛的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 2006-四川文-02 单-对数型反函数
• 2006-江西文-14 填-反函数求值