2004-北京卷文-07 单-反函数存在的条件

本题导读

本题考查存在反函数的条件，以及二次函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 函数 $f(x)=x^2-2ax-3$ 在区间 $[1,2]$ 上存在反函数的充分必要条件是()

A. $a\in (-\infty ,1]$　　　B. $a\in [2,+\infty )$　　　C. $a\in (-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$　　　D. $a\in [1,2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 存在反函数 $⟺$ 在 $[1,2]$ 上单调。
2. 二次函数对称轴 $x=a$。
3. 单调 $⟺$ 对称轴不在区间内部，即 $a⩽1$ 或 $a⩾2$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=x^2-2ax-3$ 的对称轴为 $x=a$.函数在区间 $[1,2]$ 上存在反函数的充要条件是该区间上 $f$ 单调，即对称轴 $x=a$ 不在区间 $(1,2)$ 内部，故 $a⩽1$ 或 $a⩾2$，即 $a\in (-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数存在的条件
2. 核心方法：$f(x)=x^2-2ax-3$ 在 $[1,2]$ 上存在反函数 $⟺$ 在该区间上单调 $⟺$ 对称轴 $x=a$ 不在区间内部，即 $a⩽1$ 或 $a⩾2$
3. 避坑指南：二次函数存在反函数需单调，即对称轴 $x=a$ 在 $[1,2]$ 之外（含端点）；$a\in (-\infty ,1]\cup [2,+\infty )$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数概念，教材”反函数”
2. 结论推广: 一般化：连续函数在某区间存在反函数 $⟺$ 在该区间单调；二次函数对称轴 $x=a$ 落在区间内部则非单调，故要求 $a$ 在区间外

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数
• 2004-全国卷IV文-02 单-指数函数反函数
• 2005-上海卷文-13 单-分式函数的单调性