2004-上海卷文-15 单-反函数

本题导读

本题考查互为反函数的图象对称关系。

📌【题干】

Question

（2004年上海卷(文)） 若函数 $y=f(x)$ 的图象与函数 $y=\lg (x+1)$ 的图象关于直线 $x-y=0$ 对称，则 $f(x)=$()

A. $10^x-1$　　　　B. $1-10^x$　　　　C. $1-10^{-x}$　　　　D. $10^{-x}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线 $x-y=0$ 即 $y=x$，关于它对称 $⟺$ 互为反函数。
2. 由 $y=\lg (x+1)$ 得 $10^x=y+1$，$y=10^x-1$。
3. 选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

关于直线 $x-y=0$（即 $y=x$）对称等价于两函数互为反函数。对 $y=\lg (x+1)$，反解得 $x=\lg (y+1)⟺10^x=y+1⟺y=10^x-1$.所以 $f(x)=10^x-1$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数
2. 核心方法：关于直线 $x-y=0$ 对称即互为反函数：$y=\lg (x+1)$ 反解 $x=10^y-1$，故 $f(x)=10^x-1$，选 A
3. 避坑指南：$x-y=0$ 就是 $y=x$；反解时 $10^x=y+1$，常数项符号别写错

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数与图象对称，教材”函数”
2. 结论推广: 一般化：图象关于 $y=x$ 对称 $⟺$ 两函数互为反函数；反解 $x$ 关于 $y$ 的表达式再互换，或直接用指数对数互化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-01 填-反函数
• 2004-天津文-09 单-反函数求法
• 2006-上海文-03 填-反函数图象过点求参