2006-上海文-03 填-反函数图象过点求参

本题导读

本题考查反函数，以及指数函数。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 若函数 $f(x)=a^x$（$a>0$，且 $a\ne 1$）的反函数的图象过点 $(2,-1)$，则 $a=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数图象过点 $(2,-1)$，等价于原函数图象过点 $(-1,2)$。
2. 即 $f(-1)=a^{-1}=2$。
3. 解得 $a=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

互为反函数的两个函数，其图象关于直线 $y=x$ 对称， 故反函数图象过点 $(2,-1)$ 等价于原函数图象过点 $(-1,2)$。 于是 $f(-1)=a^{-1}=2$，解得 $a=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数图象过点求参

核心方法：反函数图象点反推原函数

避坑指南：反函数图象过 $(2,-1)$ 等价于原函数过 $(-1,2)$，代入 $f(-1)=2$ 求 $a$；直接代入 $(2,-1)$ 会错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 反函数图象对称性，基础题

结论推广: 反函数图象关于 $y=x$ 对称，过点坐标互换

方法推广: 反函数问题优先对称转化，避免反解解析式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2009-上海卷文-01 填-反函数