2004-北京春文-13 填-反函数的值域

本题导读

本题考查反函数的值域。

📌【题干】

Question

若 $f^{-1}(x)$ 为函数 $f(x)=\lg (x-1)$ 的反函数，则 $f^{-1}(x)$ 的值域是　　　。

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=\lg (x-1)$ 的定义域为 $x>1$。
2. 反函数值域 $=$ 原函数定义域。
3. 值域 $(1,+\infty )$。

✅【答案】

Success

$(1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

设 $y=\lg (x-1)$，其定义域为 $x>1$．由对数定义得 $10^y=x-1$，故 $x=10^y+1$，反函数 $f^{-1}(x)=10^x+1$．因 $10^x>0$ 且当 $x$ 取遍实数时 $10^x$ 取遍正数，故 $f^{-1}(x)$ 的值域为 $(1,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的值域

核心方法：$f(x)=\lg (x-1)$ 定义域 $x>1$；反函数 $f^{-1}(x)=10^x+1$，值域即原函数定义域 $(1,+\infty )$

避坑指南：反函数值域 = 原函数定义域；$f^{-1}(x)=10^x+1$ 的值域是 $(1,+\infty )$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于反函数，教材”反函数”

结论推广：一般化：反函数的值域 = 原函数的定义域

方法推广：先求反函数解析式，值域即原定义域 $(1,+\infty )$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-02 单-分式函数反函数
• 2005-上海卷文-01 填-反函数
• 2006-上海文-03 填-反函数图象过点求参

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